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Esta página está dedicada a tratar de aportar mis propias experiencias sobre cálculos sencillos y prácticos que ayudarán a los que están comenzando a proyectar o comprobar estructuras. También incluyo algunas curiosidades con las que tropiezas de vez en cuando, espero que os sirvan.

Trato de actualizar los contenidos a las nuevas normas, pero no siempre llego a tiempo. Si descubrís algún error agradecería que me lo comunicaseis-

 

  

Algo sobre torsión en hormigón. Torsión de equilibrio y torsión de compatibilidad

Diferencia entre el cálculo de las deformaciones en hormigón armado y acero laminado

-¿Es necesario anclar en patilla las armaduras de tracción en mallas inferiores de zapatas?

-Axil máximo que puede resistir un pilar de hormigón armado.

-Longitud mínima de una barra estructural.

-Casos particulares de limitación de cuantías:

              -Cuantías mecánicas máximas

              -¿Qué ocurre según EHE si un muro tiene menos de 7,5m?

              -Cuantías geométricas mínimas en pilares

              -Elementos que no tienen definidas sus cuantías geometrias mínimas

              -¿Cuándo es absurda la comprobación a fisuración?

-Mayoración de acciones. Empujes del terreno.

-Límite de contraflechas.

       

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Estructurín y colapso de arco de fábrica

CÁLCULO:

 

 

ref. Cal-01_09/07/06 - act. 06/08/06

 

Hormigón. Algo sobre torsión. Torsión de equilibrio y torsión de compatibilidad

(Normativa EHE - España)

 

La torsión es uno de los esfuerzos más complejos, su estudio es complicado, especialmente cuando aparece junto con otros esfuerzos o cuando la pieza no posee <<alabeamiento libre>>. El problema más sencillo que se puede presentar y por ello el más estudiado es el de la torsión pura, que ocurre cuando un elemento está sometido únicamente a una solicitación de torsión, sin embargo este caso no es el más usual.

La Instrucción de Hormigón (EHE) considera que para resistir la torsión una viga de sección rectangular sólo utiliza una sección equivalente <<hueca>> (el interior es ineficaz), cerrada y de paredes delgadas (EHE, Art. 42.5). Esta sección necesitará una armadura longitudinal y una armadura transversal exclusivas para la torsión. La armadura transversal ha de estar constituida por cercos, no valen estribos, ya que han de abarcar toda la sección (cerrados). Tampoco valen ramas interiores, ya que como se ha dicho se considera que la torsión la resiste una sección hueca. La separación entre cercos viene muy condicionada por la geometría del lado más pequeño de la sección  (EHE, Art. 45.2.3). Estas armaduras se suplementarán a la requerida por flexión

Ahora bien, no siempre resulta necesario armar a torsión los elementos estructurales, especialmente en el caso de estructuras de edificación. Para conocer cuando es necesario dicho armado analizaremos los conceptos de torsión de equilibrio y torsión de compatibilidad. Veamos la diferencia según palabras de la Instrucción:

<<Cuando el equilibrio estático de una estructura dependa de la resistencia a torsión de uno o varios de los elementos de la misma, éstos deberán ser dimensionados y comprobados de acuerdo con el presente Artículo. Cuando el equilibrio estático de la estructura no depende de la resistencia a torsión de uno o varios de los elementos de la misma sólo será necesario comprobar este Estado Límite en aquellos elementos cuya rigidez a torsión haya sido considerada en el cálculo de esfuerzos>>

Torsión de equilibrio o principal es aquella que es necesaria para el equilibrio, de manera que si no se arma para ello, si no se le da rigidez a torsión,  la estructura puede romper. El caso típico es el de una marquesina sobre un pórtico: de una viga sale hacia un lado un voladizo. Si la viga no se arma a torsión el voladizo caerá ya que no existe equilibrio. Otro caso típico es el de las vigas balcón que requieren armadura a torsión.

Torsión de compatibilidad o secundaria es aquella que aparece no por necesidad de equilibrio, sino por compatibilidad de deformaciones. Si cuando el elemento se deforma y fisura no existen problemas de equilibrio no es necesario armar a torsión. Para explicar la torsión de compatibilidad pongamos de nuevo un caso típico, el de un brochal entre dos vigas que quedan sometidas a torsión y que, sin embargo, no se armaron para soportarla. Si las vigas van a pilares, la torsión hará que giren y fisuren convirtiéndose los nudos con los pilares en <<articulaciones a torsión>>, pero no ocurre nada más, la torsión restante que puede seguir transmitiéndose se puede despreciar y el brochal no cae.

Por último, es interesante recalcar que la norma obliga a armar a torsión aquellos elementos en los que se ha considerado su rigidez a torsión durante el cálculo de esfuerzos, esto es obvio, dado que calcular con o sin rigidez torsional afecta al resto de la estructura. Por ello, a veces es interesante modelizar las vigas sin rigidez a torsión, salvo claro está las excepciones comentadas de torsión de equilibrio. Sí conviene siempre disponer una cuantía que controle la fisuración, lo cual según EHE (art. 49.4), se consigue  colocando cercos con una separación (st) menor o igual que la mitad de la menor sección transversal de la pieza (st≤a/2), que un tercio de la mayor sección transversal de la pieza (st≤b/2) y que 200 mm (st≤200 mm).

 

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Diferencia entre el cálculo de las deformaciones en hormigón armado y en acero laminado
(cálculo de flechas en vigas de hormigón frente a vigas metálicas)

 

Es reveladora la actitud de algunos técnicos noveles, que muchas veces translucen su inexperiencia cuando, a la hora de comprobar elementos estructurales, tienden a valorar cuestiones resistentes -por ejemplo pequeñas diferencias de área en las armaduras-, pasando por alto serios problemas de deformación.

Creo, o al menos esta es mi experiencia personal, que gran parte de la culpa la tiene la enseñanza tradicional de las estructuras, en la que se le da más importancia al cálculo a resistencia de los elementos que a su comportamiento frente a las deformaciones. Quiero suponer, que el fallo no está tanto en que los profesores de las asignaturas estructurales no sean conscientes de ello, sino más bien todo parte de un problema de tiempo: en un año se comienza con los dominios de deformación del hormigón y en Mayo, con la lengua fuera habremos conseguido llegar en el temario al final de los estados límites últimos. Así a los alumnos les queda la siguiente sensación: al parecer mientras un elemento no rompa no hay por qué preocuparse.  

Sabemos que esto no es del todo así, pues aunque no rompa la viga en cuestión, sí puede romper por ejemplo un tabique que esté descansando sobre ésta debido a una flecha excesiva. 

Si está en vuestras manos os aconsejo leer un libro muy ameno: "Estructuras o por qué las cosas no se caen" (1). En él podréis concienciaros de una propiedad esencial en el estudio de las estructuras: <<todos los materiales y las estructuras se desplazan, en cantidades variables, cuando se les carga>>. Parecerá una ridiculez a estas alturas, pero siempre será bueno tener presente dicha cuestión que os aseguro no está en la mente de todos -y mucho menos en la de los ajenos a la profesión-: la deformación y la resistencia van intrínsecamente unidas, por lo que si algo está resistiendo es porque se ha deformado o al revés (Ley de Hooke:  s=E e, que cumplen todos los materiales elásticos). 

Dejándome a éstas alturas del artículo de rodeos, quisiera tratar en este apartado sobre uno de los errores más habituales que he encontrado entre algunos colegas de profesión: el cálculo de flechas en elementos sometidos a flexión de hormigón armado como si éste se tratara de un material elástico, utilizando cálculos análogos a los que se usan con elementos metálicos. 

Para el cálculo de deformaciones en vigas metálicas tratamos a los materiales como elásticos, es decir, que cumplen la ley de Hooke que hemos escrito arriba. Esto es cierto porque generalmente consideramos que el acero no ha plastificado todavía para las situaciones de servicio en las cuales queremos obtener las flechas. Así basta con remitirnos a un prontuario con la inercia I y el módulo de elasticidad E en este caso analizando la deformación por flexión, o bién introducir dichos datos en un programa de cálculo matricial para que obtengamos las deformaciones correspondientes.

El hormigón armado es un material complicado, para empezar, como sabemos el hormigón resiste muy mal las tracciones, es por eso principalmente por lo que se le añade el acero, con lo que tenemos una sección mixta, pero ante todo no se puede considerar su comportamiento como elástico, o al menos no durante la mayor parte de la vida de los elementos con él construidos. A poco de cargarse, en algunos puntos de la sección de hormigón aparecerán tensiones de tracción que fisurarán la viga, con lo que estaremos trabajando con una "viga cosida". Estas fisuras son muy pequeñas y no se ven a simple vista -microfisuras- pero tiran por la borda cualquier analogía no inherente de peligro con el cálculo de deformaciones de un material elástico como es el acero.   

Por tanto, en el cálculo de las deformaciones del hormigón entra en juego la fisuración, y con ella el concepto de inercia fisurada (If) o inercia del trozo de sección que nos queda una vez rota la viga -esta es  siempre menor que la inicial, así que... ¡cuidado!-. Con esta inercia fisurada, podríamos, una vez recapacitado lo anterior, entrar en las fórmulas clásicas o programa informático de materiales elásticos,  y comenzar a calcular flechas.

Sin embargo se añade otro problema dada la compleja historia de la vida de las estructuras, y este es que dicha sección fisurada y por tanto If no son constantes. A medida que se van añadiendo cargas a los elementos, se va disminuyendo la sección resistente de hormigón y con ello la inercia, de modo que no podemos calcular las deformaciones de un golpe, sino que tenemos que seguir el proceso de carga de los elementos: se quitan los puntales y las vigas comienzan a soportar su propio peso y el de los operarios que por ellas circulan... y se produce una primera fisuración que afectará a cálculos posteriores, se dispone la solería... y se produce una nueva fisuración, ... y así matemáticamente hasta el infinito.

En definitiva el cálculo de flechas en hormigón armado es tedioso, aunque cada vez más los programas informáticos abarcan la obtención de las deformaciones -¡ojo! no todos, existen programas en el mercado que no consideran más que la flecha con secciones no fisuradas, informaros bien primero en el manual de instrucciones correspondiente-.

Nuestra instrucción para hormigón (EHE) incluye en su artículo 50 un método simplificado específico y apropiado para calcular las deformaciones en elementos solicitados a flexión simple o compuesta, en definitiva enfocado a calcular flechas, y que sería el que deberíamos utilizar para nuestros cálculos. El método (art.52.2) está basado en la fórmula de BRANSON y trabaja con una inercia equivalente Ie resultado de interpolar entre la inercia bruta y la fisurada (es decir tomar una inercia intermedia apropiada que se encuentre entre la total o bruta Ib y la fisurada If), que describimos a continuación: 

 

Para determinar los valores de If, la norma nos remite al Anejo 9 sobre secciones fisuradas en flexión simple. 
Por último deciros que dado lo complicado de realizar un cálculo manual correcto con esta formulación, han surgido métodos más o menos satisfactorios que tratan de realizar un cálculo elástico pero penalizando la inercia bruta o bien el módulo de elasticidad o bien ambos, de manera que se aumente el valor de los desplazamientos. Dichos métodos pueden ser utilizados con prudencia, especialmente para predimensionados y tanteos, pero en general carecerán de validez a la hora de justificar nuestras estructuras. 

 

Notas:

(1) Estructuras o por qué las cosas no se caen. Editorial Celeste. J.E. Gordon

 

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¿Es necesario anclar en patilla las armaduras de tracción en mallas inferiores de zapatas?
(Criterios de clasificación de zapatas y sus métodos de cálculo).

 

No son pocas las que veces me he encontrado ya en obra con zapatas cuya armadura inferior se ha dispuesto mediante mallazo –me estoy refiriendo a mallazo no electrosoldado sino atado con alambre- y no se ha tenido en cuenta la terminación de este en patilla. Queda entonces la siguiente duda, ¿es obligatorio exigir patilla de anclaje en el extremo?

Nadie mejor una vez más, que el profesor Calavera y su libro sobre cimentaciones para aclarar tal pregunta. Tratemos de resumir brevemente la situación estructural en la que se encuentra el anclaje de dichas armaduras. Antes abordaremos el criterio de rigidez de la cimentación.

La rigidez en una cimentación no es un criterio fácil, y de hecho frecuentemente lo olvidamos. En un primer posicionamiento diremos que la rigidez de una cimentación depende no sólo del elemento estructural en cuestión, sino también del terreno en el que este se apoya, incluso podemos ir a más y tener en cuenta el conjunto estructural que carga en nuestra cimentación. Sin embargo, este criterio general no es el utilizado en la Instrucción EHE y sus versiones anteriores, éstas dan una clasificación desde el punto de vista estructural, olvidando al terreno. En el caso de zapatas, que es el que nos ocupa, diremos que la EHE distingue entre zapatas rígidas y flexibles(1). La clasificación que esta norma hace es la siguiente:

 

-Rígida:   Vmax £ 2h

-Flexible: Vmax > 2h

 

Criterio de clasificación de zapatas según la EHE

Fig 59.2.b de la EHE. Criterio de clasificación de zapatas según EHE

 

Así dada la geometría de la zapata asimilaremos el cálculo de la armadura longitudinal a un caso de vigas ménsula -caso de la zapata flexible- o a una especie de ménsula corta -caso de zapata rígida-. La norma distingue entonces entre el cálculo para cada tipo de zapata, en el caso de zapatas rígidas estamos dentro de una región D o lo que es lo mismo, una zona donde no es válida la teoría de la flexión (no son válidas las hipótesis de Bernouilli-Navier o kirchhoff). Lo contrario ocurre en zapatas flexibles donde estamos en una región B donde son aplicables las hipótesis anteriores. En general estamos familiarizados con el cálculo de regiones B, ya que con esta teoría calculamos vigas y pilares. Las regiones D en cambio son más desconocidas para nosotros, éstas se producen según la EHE (art. 24.1) cuando existen discontinuidades geométricas debidas a cambios bruscos de geometría, discontinuidades estáticas debidas a la aplicación de cargas concentradas y reacciones, o por discontinuidades generalizadas debidas a que en la estructura en su conjunto por sus formas y proporciones no se le pueden aplicar las hipótesis anteriores –este es el caso por ejemplo de las vigas de gran canto y de las zapatas rígidas de nuestro estudio donde las proporciones del elemento se alejan de las del elemento barra y no nos permiten la aplicación de la teoría de la flexión- .

 

El método que la norma nos indica para el cálculo de las regiones D es el método de las bielas y los tirantes, un método que no es nuevo dado que ya lo estábamos utilizando sin tener conocimiento de ello. Así por ejemplo el cálculo a cortante y a torsión de la actual norma y de la anterior EH-91 estaba basado en la celosía (analogía de Ritter-Mörsch) derivada de la aplicación del método de las bielas y los tirantes al modelo de viga fisurada, las bielas representan al hormigón comprimido y los tirantes a la armadura traccionada. 

En cuanto a la puesta a punto de este método en zapatas, en Francia fue desarrollado hace años dicho método a causa de la rotura observada en zapatas proyectadas por la teoría de la flexión(2).

El método consiste (art. 24.2.2 de la EHE) en sustituir la estructura, o parte ésta que constituye la región D, por una estructura de barras articuladas, generalmente plana o en algunos casos espacial que representa su comportamiento. Las barras comprimidas se definen como bielas y representan la compresión del hormigón. Las barras traccionadas se denomina tirantes y representan las fuerzas de tracción de las armaduras.

De esta manera el modelo debe equilibrar los esfuerzos exteriores existentes en la frontera de la región D, cuando se trata de una zona de la estructura; o las reacciones de apoyo, en el caso de una estructura con discontinuidad generalizada. Generalmente partimos de un esquema de funcionamiento de la zona o el elemento como puede ser un estudio de la distribución de tensiones mediante el conocimiento de las líneas isostáticas (distribución de tensiones y compresiones principales) o bien un diagrama de fuerzas que simule el funcionamiento y el equilibrio y la compatibilidad de deformaciones del modelo.  Con estos puntos de partida introduciremos las barras articuladas que simulan el comportamiento del elemento. Existen una serie de pautas a seguir, como por ejemplo que si se pueden dar varios modelos de estudio, el modelo con menor longitud total de tirantes (barras a tracción) es el más rígido y por ello el que mejor puede describir el comportamiento del hormigón armado(3).

 

Método de las bielas y los tirantes aplicado a zapatas

Fig.  59.4.1.1.a de la EHE. Modelo de cálculo de zapatas rígidas

 

Todo esto nos lleva al punto de inicio: ¿cómo afecta la rigidez de la zapata en el cálculo de su armadura y especialmente en el anclaje de ésta en el extremo?

Para ello partiremos del conocimiento de las fórmulas que calculan la armadura de tracción de las zapatas y para cuyo análisis detallado remito al libro antes citado del profesor Calavera(4). Estas fórmulas están simplificadas para una supuesta carga axil N que llega al pilar y para un y para un brazo elástico interno o distancia entre el eje de la armadura traccionada y el de aplicación de la resultante del bloque comprimido, z = 0.9d, usual en vigas. Si además existiera un momento flector el análisis sería análogo incluyendo la influencia de este. Tenemos las siguientes capacidades mecánicas de la armadura necesarias:

 

-Caso de zapatas rígidas:

            As fyd= Nd (a2-a1) / (d a22 ) [(a22-4x2)/8]    [1]

-Caso de zapata flexible:

 As fyd= Nd /(0,9 d a2) [(a2-2x)2/8]             [2]

Con:

a2= longitud de la base de la zapata en la dirección de cálculo.

a1= longitud de la base del pilar en la dirección de cálculo.

Nd= Axil de cálculo que llega a la base del pilar.

x= coordenada que tiene su origen en el eje del pilar y vale a2/2 en el extremo de la zapata.

 

Observemos los resultados aplicados de las fórmulas anteriores a un caso particular:

a2= 1,80 m

a1= 0,40 m

Nd= 20 T

Quedan los siguientes gráficos de las parábolas de las fórmulas [1] y [2] donde se han representado las capacidades mecánicas de la armadura a lo largo de la base de la zapata (el valor de x=0 corresponde al eje de simetría de la zapata o eje del pilar y el valor máximo de x corresponde al extremo de la zapata para x=a2/2):

 

Distribución de armaduras en zapatas rígidas

Distribución de armaduras en zapatas flexibles

 

 

Se pueden estudiar otros casos, pero en general las conclusiones son las siguientes, que se pueden obtener mediante la comparación matemática de ambas fórmulas:

-El método de cálculo a flexión conduce a mayores armaduras que el cálculo por el método de las bielas. Sólo existe un pequeño rango en el que el cálculo como zapata rígida conlleva mayor armadura y esta es ligeramente superior. De aquí que en la mayoría de los casos se opta por calcular cualquier zapata mediante el método flexible.

-La pendiente de las curvas anteriores son diferentes, mientras que en las zapatas flexibles existe concavidad, en las rígidas la gráfica indica convexidad. Analizemos el significado de la pendiente: las gráficas dadas nos indican la capacidad mecánica de las armaduras traccionadas, es decir las toneladas que éstas tienen que resistir. Si dividimos por el área de las armaduras las formulas dadas, los gráficos representarían las tensiones (T) a las que se somete la armadura. Entonces la pendiente de las gráficas se traduce como la derivada de la tensión respecto a x (dT/dx)  lo que viene a ser sinónimo de la tensión de adherencia:

              τb= dT/dx 1/(n p Φ)     [3]  

con:

n = nº de redondos por unidad de ancho de la cimentación.

Φ = diámetro de la armadura.

Un valor alto de esta tensión de adherencia significará que las barras pueden llegar a deslizar entre el hormigón. El valor máximo de la tensión de adherencia se comprueba experimentalmente y existe un valor de resistencia de cálculo por adherencia τbd con el que se compara el anterior τb

 

Conclusión:

En definitiva todo esto significa que en zapatas rígidas siempre se debe disponer patillas de anclaje a partir del extremo de la zapata, con objeto de que las barras trabajen correctamente. La misma EHE obliga a llevar toda la armadura hasta el extremo de la zapata y a anclar adecuadamente. De otro modo y como la misma norma apunta, es aconsejable en zapatas rígidas el anclaje mediante barra transversal electrosoldada, ya que entonces se podrá prescindir de la adherencia

En zapatas flexibles es siempre conveniente llevar la totalidad de las barras al menos hasta el extremo(5). La norma en su art. 59.4.1.1.2 complica el estudio del anclaje de las zapatas flexibles proponiendo la elección del anclaje más desfavorable entre el necesario (lb) a partir de una sección situada a un canto útil del extremo de la zapata, y el que se necesitaría para anclar la armadura frente a la acción de una fuerza dada Td aplicada en la base de la zapata (ver fig. 59.4.2.1.1.2.b de la norma) a partir de una sección que se encuentra a una distancia 0.5h desde el extremo de la zapata. En definitiva para zapatas flexibles habría que echar unos números para decidir la exigencia o no del anclaje en patilla.

Por último, apuntar que se pueden calcular áreas de armadura traccionadas en la base de las zapatas rígidas y flexibles por el método de flexión, ya que como hemos visto apenas varían los resultados, pero en el caso de que la zapata sea rígida habrá que prolongar siempre la armadura en patilla para garantizar el anclaje.

 

(1) Esto supone un cambio frente a la antigua EH-91 que clasificaba a éstas en tres tipos (I,II, y III).

(2)Al parecer la causa de la rotura era el hecho de que no se llevaba la totalidad de la armadura hasta el extremo de la zapata siguiendo los armados clásicos de vigas a flexión, cuando las zapatas realmente respondían a un tipo rígido. La rigidez de las cimentaciones superficiales. Fernando Musas Labad. Doctor ingeniero de Caminos Canales y Puertos. Profesor titular de Mecánica del Suelo de la ETSAM. Revista de Obras Públicas/Marzo 2002/Nº3419

(3) Regla dada por el profesor Jörg Schalich según apunta el profesor Alvaro Garcia Meseguer. Hormigón Armado. Elementos estructurales. Alvaro Garcia Meseguer. Fundación Escuela de la Edificación.

(4) Cálculo de estructuras de cimentación. J. Calavera. INTEMAC

(5) En zapatas flexibles y al igual que ocurre con el armado de vigas ménsulas podría optarse por cortar las barras según el diagrama de momentos -no es practica usual e incluso supone un armado más complejo-.  

 

 

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Axil máximo que puede resistir un pilar de hormigón armado


Me voy convenciendo poco a poco de la nimia cultura estructural que poseemos muchos de los técnicos que nos dedicamos a esto, entre los cuales me incluyo.

No pude ser testigo de épocas anteriores a la masiva implantación de los programas informáticos dado que todavía pululaba por la universidad, pero creo que anteriormente a este hito temporal el estructuralista conocía mejor como trabajaban los materiales, y era capaz de dimensionar y comprobar elementos con un lápiz y una calculadora.

 

Dicho esto, quisiera aquí refrescar un pequeño cálculo, de estos que llamaríamos 'recetas' y que si bien puede no tener mucha utilidad dado que es raro que una sección de un pilar se encuentre sometida exclusivamente a esfuerzo axil, -simplemente por normativa deberíamos implementar el efecto de la excentricidad accidental con lo que al menos ya existiría un pequeño momento-, sí puede servirnos como cota para fijar el intervalo en que se moverá éste -existan o no momentos-.

Una posible aplicación práctica de esto sería su uso como intervalo dentro de un programa de cálculo que comprobase secciones de un pilar a flexocompresión esviada mediante un método iterativo. Cuando el usuario introduce unos esfuerzos (N,Mx,My) con valores de N por encima de los que puede resistir la sección, el programa se quedará 'colgado', iterando indefinidamente,  ya que jamás conseguirá encontrar dicho valor. Por ello será necesario conocer dichos números a priori, de modo que el programa al encontrarse cantidades superiores pare e informe al usuario.

 

Hago notar también que el resultado es válido para cualquier sección de H.A. sometida a solicitaciones normales, es decir que este cálculo es trasladable también, por ejemplo, a una viga.

 

Para ello lo que haremos será irnos al gráfico de los dominios de deformación -art. 42.1.3 de la EHE, un gráfico muy útil sobre el que ya hemos hablado en De Mecánica otras veces puesto que expresa de manera visual todas los posibles planos de rotura frente a solicitaciones normales de una sección de hormigón-.

Una vez delante del gráfico de los dominios nos quedaremos con los planos de deformación x = +¥ y x = -¥, que son aquellos que proporcionan estados de compresión simple y tracción simple respectivamente. Pues bien, hemos dado precisamente con los planos que proporcionan mayor axil de compresión y mayor axil de tracción para nuestro pilar -o séase, si fuera el caso, una viga-.

Resulta que los axiles máximos se consiguen para una deformación máxima uniforme (diagrama rectangular), concretamente para el -10 por mil y el 2 por mil. En el primer caso es obvio que el acero produce una resultante mayor de este modo -cuando todas sus fibras se deforman por igual y  en el mismo sentido- ya que de existir un flector siempre actuaría reduciendo la deformación en alguna de las barras y por tanto se generaría un axil menor. Lo mismo aunque es un poco más complicado ocurre para la compresión: con las barras de acero sigue siendo válido lo anterior, y algo análogo ocurre con el hormigón ya que el diagrama parábola rectángulo se convierte en un rectángulo con valor de la tensión (0.85 fcd).

 

Si se localizan en el diagrama de interacción espacial de la sección como el de al figura anterior extraído del gran libro del profesor Álvaro García Messeguer [1], corresponderán a los dos puntos S y T que acotan dicho diagrama. Es decir, si fuera cortando el diagrama por planos N=cte, siempre intersecarían curvas cerradas (Mx,My) -las que suelen aparecer en las bibliografías, si la sección es doblemente simétrica puede aparecer sólo un cuarto de la curva-,  pero si corto por esos valores de N, sólo obtendré un punto.

 

Una vez dicho todo esto vamos a realizar un ejemplo con una sección dada. Pongamos un pilar de sección 30x40cm, con 3f20 por cara. El acero será B-400 S y el hormigón HA-25. Supondremos unos coeficientes de minoración de resistencia de los materiales para una situación de proyecto permanente o transitoria de gc=1,50 para el hormigón y gs=1,15 para el acero.

Nos queda:

MÁXIMO AXIL DE COMPRESIÓN:

-Axil resistido por el hormigón:

 0,85 fcd b h = 0,85 *25,00/1,50 N/mm2 *300,00mm * 400,00mm=1700000,00N

-Axil resistido por el acero:

nº redondos* Aredondo* fyd = 8 * 314,16mm2 * 400,00/1,15N/mm2= 874184,35N

Queda un axil total de:

Ncomp max=1700000,00 + 874184,35 = 2574184,35N=2574,18kN

 

MÁXIMO AXIL DE TRACCIÓN:

-Axil resistido por el hormigón= 0 (Toda la sección traccionada)

 -Axil resistido por el acero:

nº redondos* Aredondo* fyd = 8 * 314,16mm2 * 400,00/1,15N/mm2= 874184,35N

Queda un axil total de:

Ntracc  max= 874184,35N = 874,18kN

 

Habrá que remarcar que estos valores de los axiles son valores de cálculo o mayorados, y que para obtener los de servicio tendríamos que dividirlos por el correspondiente coeficiente de mayoración de acciones.

 

Igualmente, es conveniente descontar a la sección de hormigón el área de acero para cuantías importantes. En nuestro caso el axil de compresión quedará con esta reducción:

-Axil resistido por el hormigón:

 0,85 fcd b h - nº redondos* Aredondo=
 =0,85 *25,00/1,50 N/mm2 *(300,00mm * 400,00mm - 8 * 314,16mm2)= 1664395,20N

Y queda un axil total de:

Ncomp max= 11664395,20N + 874184,35 = 2538579,55N=2538,58kN,

que supone aproximadamente una reducción del 1,40%

 

 

 

Para saber más:

[1] Hormigón armado. Cálculo en estados límites U.D. 2. Universidad Nacional de Educación a Distancia UNED, Escuela de la Edificación.

 

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Longitud mínima de una barra estructural:

 

Puede que a veces nos hayamos preguntado cual es la mínima longitud que puede disponerse en una barra de acero estructural en hormigón armado. La respuesta es sencilla: debido a que la barra debe estar suficientemente anclada nunca se debe disponer una longitud menor de dos veces la longitud neta de anclaje 2*lb,net para que ésta pueda trabajar.

Ésta cuestión puede resultar importante a la hora de armar los negativos pasantes de las vigas en los encuentros con el pilar, al igual que a la hora de dimensionar los refuerzos a positivos en vigas. En estos casos puede ser frecuente olvidar que existe dicha longitud mínima, especialmente en el caso de diámetros de armadura grandes, que necesitan una generosa longitud de anclaje.

 

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Sobre casos particulares de limitación de cuantías: 

 

Cuantías mecánicas máximas

 

Aunque lo usual es que oigamos hablar de cuantías mecánicas mínimas, asociadas a evitar una posible rotura frágil de las piezas, también las normativas nos obligan a no disponer armaduras excesivas. ¿Por qué? Una respuesta, que yo no sé si con buen criterio transmití a mis alumnos, es que cuando la sección dispone de tal proporción de armadura aquello deja de comportarse como hormigón armado y se asemeja más a una sección mixta compuesta por un perfil de acero envuelto por hormigón. En la bibliografía, en general no se pronuncian acerca de este tema. En la Instrucción -EHE- tampoco, exclusivamente se justifica la necesidad de cuantías mínimas, bien sean mecánicas o geométricas, pero nada se habla de las máximas, quizás por parecer tema baladí, quizás por no estar del todo claro o copiar dicha prescripción de la norma anterior.

El profesor Calavera es de los pocos que acreditan dicha cuantía, en su ya clásico libro Proyecto y cálculo de estructuras de hormigón -INTEMAC, 2ª Edición 1991- comenta que estas cuantías representan un límite razonable para evitar la excesiva congestión de armaduras y una alta sensibilidad al fuego.

 

Aprovechemos finalmente este punto para ver cómo resuelve la EHE este punto. Se limita la cuantía mecánica máxima en los casos en que la sección esté sometida a estados de tensión en los que exista compresión. Esto significará compresión simple y compresión compuesta -art. 43.3.3-, en cuyo caso deberemos cumplir:

A's1 fyc,d ≤ 0,5 fcdAc

A's2 fyc,d ≤ 0,5 fcdAc

donde:

A's1 y  A's2 son las armaduras principales a compresión. Al estar en compresión simple o compuesta ambas armaduras -superior e inferior- están sometidas a compresión.

fyc,d es la resistencia de cálculo del acero a compresión fyc,d= fyd siempre que no supere los 400N/mm2.

fycd  es la resistencia de cálculo del hormigón a compresión.

Ac     es el área de la sección total de hormigón.

 

Lo que busca la instrucción es que la capacidad mecánica del acero de la sección no sea mayor que la del hormigón cuando existe compresión dominante. Este objetivo se ve más claro en los comentarios a dicho artículo, donde se indica la misma formulación en el caso de compresión simple y armadura simétrica:

A's fyc,d ≤ fcdAc

donde:

A's es la armadura total -longitudinal- a compresión. 

 

Nos atreveríamos a decir que ésta última formulación es la más general y nos serviría también para el caso en que tuviéramos armaduras distintas en cada cara.

 

Por último quisiéramos recordar que fuera de la compresión simple y compuesta que ocurre generalmente en pilares, también para el caso de flexión compuesta con axiles de compresión recomendamos limitar la armadura comprimida. Nos lleva a ello el criterio de armado que se propugnaba desde EH-91 según el método del Momento Tope con la EH-91. En este caso se limitaba la armadura comprimida de manera que

A's fyc,d ≤ 0,5 fcdAc.

Última modificación (31/10/04)
 

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Cuantías geométricas mínimas de pilares

Existe la confusión que viene de la aplicación de las cuantías geométricas mínimas del artículo 42.3.2 de la EHE al caso de vigas, de querer aplicar la cuantía en pilares por caras. Esto no es así, la CGMin en pilares (del 4 por mil para ambos aceros según dicho artículo) se aplica a la suma de todas las armaduras longitudinales de un pilar, que por otro lado sabemos que debe constar al menos de 4 redondos en pilares rectangulares y de 6 en el caso de los circulares, y además tener al menos diámetro del 12 en las barras (ver art. 55 sobre soportes en la EHE).
 

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Elementos que no tienen definida cuantía geométrica mínima.

 

El artículo 42.3.2 de la EHE sobre cuantías geométricas mínimas hace referencias a algunos elementos estructurales característicos -pilares, losas, vigas y muros- pero no dice nada acerca de otros tales como pantallas, pilotes o zapatas, e incluso deja para el estudio casos especiales como las losas de cimentación.

 

PILOTES Y PANTALLAS:

En general la tendencia suele asimilar los elementos que no vienen definidos con los que sí lo están por su semejanza, así los pilotes - y esto sí viene definido en la Instrucción [1] -se tratarán como pilares en cuanto a la cuantía geométrica, mientras que las pantallas -y esto no viene definido en la Instrucción podrán considerarse como muros a la hora de definir las cuantías geométricas mínimas.
 

LOSAS DE CIMENTACIÓN:

Existe bibliografía técnica sobre cuantías. Así por ej- el profesor Calavera en su libro Cálculo de Estructuras de Cimentación [2] propone para placas -losas- de cimentación una cuantía geométrica total en cada dirección del 1,5 por mil. Esta cuantía es algo menor que la que exige la EHE para losas en general (2,0 por mil para aceros B 400 S y 1,8 por mil para aceros B 500 S), si bien la EHE deja abierto el tema para las losas de cimentación. Entendemos que esta cuantía total supone la suma de armaduras inferiores superiores y laterales siguiendo los esquemas de la EHE. El profesor Calavera justifica dicha cuantía al asimilarla a la de piezas lineales en general del Eurocódigo 2.

 

ZAPATAS:

La misma cuantía y por los mismos motivos es la que recomienda el profesor Calavera para zapatas. La zapata llevará en ambas direcciones una cuantía mínima del 1,5 por mil. Generalmente las zapatas llevan exclusivamente armadura inferior, pero entendemos que en caso de tener armadura superior o lateral igualmente contaría para la cuantía.

El clásico Hormigón Armado de Montoya-Messeguer-Morán [3] sin embargo acepta los valores de la norma para losas (el 2,0 y 1,8 que comentamos anteriormente) con lo que la exigencia es algo mayor.

Sin embargo, y una vez más para refutar la idea que tenemos del cálculo de estructuras como algo parecido a una ciencia exacta, alguna publicación afirma lo siguiente: "Las cuantías geométricas mínimas no tienen razón de ser en zapatas aisladas, porque son para controlar fisuraciones producidas por esfuerzos de retracción y temperatura [comentarios EHE: Art. 42.3.5, EHE], esfuerzos que son insignificantes en zapatas, debido a sus dimensiones" [4].

 

[1] La EHE en su artículo no se refiere literalmente a las cuantías, sino que cita textualmente: "La comprobación de un pilote es análoga a la de un soporte, en que el terreno impide, al menos parcialmente, el pandeo". Dado que para la comprobación de un pilar es necesario verificar el cumplimiento de su cuantía geométrica hemos de entender que es obligatorio el mismo requerimiento de armadura para el pilote.  
[2] Cálculo de Estructuras de Cimentación.  INTEMAC. J. Calavera.
[3] Hormigón Armado. P. Jiménez Montoya, A. García Meseguer y F. Morán Cabré.
[4] Antoni Blázquez Boya. "Tipologías de cimientos y contención". Artículo dentro de la publicación "La estructura y el proyecto". (AA. VV.) Editorial Col·legi d'Arquitectes de Catalunya i Demarcació de Barcelona.

Última modificación (18/07/05)
 

 

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¿Qué ocurre según la EHE si un muro posee menos de 7,5m de longitud?

 

Si hacemos caso al artículo 42.3.2 de la EHE sobre cuantías geométricas mínimas y a los comentarios adjuntos a la tabla 42.3.5, un muro en el que se dispongan juntas verticales de contracción a distancias menores de 7,5m con interrupción de la armadura horizontal puede beneficiarse de una disminución de la cuantía geométrica mínima de dicha armadura en un 50%. Por tanto en el caso en que nuestro muro mida menos de 7,5m es posible usar dicha reducción.

Mi pregunta es ahora la siguiente, ¿qué ocurre si dicho muro es quebrado y entonces la longitud total es mayor a 7,5m aunque no lo es la dimensión de ninguno de sus lados?, como ocurre por ejemplo en el caso de un muro de ascensor -muro pantalla asimilable en cuantías a un muro normal-, ¿sigue siendo de aplicación la reducción anterior? Espero vuestras respuestas.

 

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Cuando es absurdo comprobar la fisuración de elementos estructurales.

 

Si hemos comprendido bien el por qué de las cuantías geométricas mínimas (CGMin) no nos debe sorprender el siguiente razonamiento: es absurdo comprobar a fisuración un elemento cuya armadura ha sido dispuesta por CGMin (si habláramos con propiedad deberíamos decir: es absurdo comprobar un elemento a fisuración frente a una solicitación para la cual se ha obtenido la armadura por CGMin). Como sabemos, cuando armamos por CGMin un elemento, es porque la solicitación a la que está sometido es tan pequeña que no llega siquiera a la que produce la fisuración.

Pongamos un ejemplo: en el caso de una viga a flexión, si ésta se ha armado por CGMin, esto quiere decir que tras calcular se comprobó que Mfis<Md, es decir, que el momento de fisuración era superior al de cálculo.

29/04/03

 

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Sobre los coeficientes de mayoración y su aplicación a las acciones, empujes del terreno

 

Existe una confusión que viene del tratamiento de las acciones en la Mecánica del Suelo y que no es aplicable al dimensionamiento y comprobación de elementos de hormigón armado u otro material. La cuestión se plantea con el ejemplo siguiente: ¿se deben mayorar las acciones del empuje del terreno en el cálculo de un muro de ménsula? Por supuesto, siempre que vayamos a dimensionar o comprobar elementos de hormigón armado, acero, etc. se deben mayorar -según el método determinista que rige en nuestras normas- las acciones mediante sus correspondientes coeficientes. No se mayorarán las acciones debidas al empuje del terreno para calcular por ej- tensiones del terreno en base de cimentaciones, o deslizamientos y vuelcos, dado que  estos cálculos ya poseen su coeficiente de seguridad -caso general de las presiones admisibles del terreno-, o bien buscan precisamente dichos coeficientes, que serán mayores que la unidad -caso por ej. del coeficiente de seguridad al vuelco o al deslizamiento-

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Limitación de contraflechas:

 

En general en las normas actuales se definen límites de deformación mediante acotación de flechas, así por ejemplo en la EHE, la EF-96 y la EA-95 se limita el valor de las mismas. Esto conlleva a suponer que se nos está limitando exclusivamente la deformación 'hacia abajo' -es decir la deformación debida a que la viga flecta disminuyendo la ordenada de su fibra neutra-, sin embargo igual de perjudicial sería para un tabique u otro elemento frágil que descanse sobre vigas y forjados una 'contraflecha' -es decir una deformación por flexión en que la posición de los puntos de la fibra neutra aumentan su ordenada-. Por ello es de suponer que las contraflechas que se dan a las vigas y viguetas con objeto de disminuir la flecha en estados posteriores de carga debería ser tal que -especialmente una vez dispuestos los elementos frágiles tipo tabique- no superen tampoco los límites propuestos por las normas, estando por tanto el valor acotado tanto superior como inferiormente.
 

 

 

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