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Esta página está dedicada a tratar
de aportar mis propias experiencias sobre cálculos sencillos y prácticos
que ayudarán a los que están comenzando a proyectar o comprobar
estructuras. También incluyo algunas curiosidades con las que tropiezas
de vez en cuando, espero que os sirvan.
Trato de actualizar los contenidos a las nuevas normas, pero no siempre
llego a tiempo. Si descubrís algún error agradecería que me lo
comunicaseis- |
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ref. Cal-01_09/07/06 - act. 06/08/06
Hormigón. Algo sobre torsión. Torsión
de equilibrio y torsión de compatibilidad
(Normativa EHE - España)
La torsión es uno de los esfuerzos más complejos, su
estudio es complicado, especialmente cuando aparece junto con otros esfuerzos o
cuando la pieza no posee <<alabeamiento libre>>. El problema más sencillo que se
puede presentar y por ello el más estudiado es el de la torsión pura, que ocurre
cuando un elemento está sometido únicamente a una solicitación de torsión, sin
embargo este caso no es el más usual.
 La Instrucción de Hormigón (EHE) considera que para
resistir la torsión una viga de sección rectangular sólo
utiliza una sección equivalente <<hueca>> (el interior es
ineficaz), cerrada y de paredes
delgadas (EHE, Art. 42.5). Esta sección necesitará una armadura longitudinal y una armadura
transversal exclusivas para la torsión. La armadura
transversal ha de estar constituida por cercos, no valen estribos,
ya que han de abarcar toda la sección (cerrados). Tampoco
valen ramas interiores, ya que como se ha dicho se considera
que la torsión la resiste una sección hueca. La separación entre cercos viene
muy condicionada por la geometría del
lado más pequeño de la sección (EHE, Art. 45.2.3).
Estas armaduras se suplementarán a la requerida por flexión
Ahora bien, no siempre resulta
necesario armar a torsión los elementos estructurales,
especialmente en el caso de estructuras de edificación. Para
conocer cuando es necesario dicho armado analizaremos los
conceptos de torsión de equilibrio y torsión de
compatibilidad. Veamos la diferencia según palabras de
la Instrucción:
<<Cuando el equilibrio estático de
una estructura dependa de la resistencia a torsión de uno o
varios de los elementos de la misma, éstos deberán ser
dimensionados y comprobados de acuerdo con el presente
Artículo. Cuando el equilibrio estático de la estructura no
depende de la resistencia a torsión de uno o varios de los
elementos de la misma sólo será necesario comprobar este
Estado Límite en aquellos elementos cuya rigidez a torsión
haya sido considerada en el cálculo de esfuerzos>>
Torsión de equilibrio o principal es
aquella que es necesaria para el equilibrio, de manera que
si no se arma para ello, si no se le da rigidez a torsión, la estructura puede romper. El caso
típico es el de una marquesina sobre un pórtico: de una viga
sale hacia un lado un voladizo. Si
la viga no se arma a torsión el voladizo caerá ya que no
existe equilibrio. Otro caso
típico es el de las vigas balcón que requieren armadura a
torsión.
Torsión de compatibilidad o
secundaria es aquella que aparece no por necesidad de
equilibrio, sino por compatibilidad de deformaciones. Si
cuando el elemento se deforma y fisura no existen problemas
de equilibrio no es necesario armar a torsión. Para explicar
la torsión de compatibilidad pongamos de nuevo un caso
típico, el de un brochal entre dos vigas que quedan
sometidas a torsión y que, sin embargo, no se armaron para
soportarla. Si las vigas van a pilares, la torsión hará que
giren y fisuren convirtiéndose los nudos con los pilares en
<<articulaciones a torsión>>, pero no ocurre nada más, la
torsión restante que puede seguir transmitiéndose se puede
despreciar y el brochal no cae.
Por último, es interesante recalcar que la norma
obliga a armar a torsión aquellos elementos en los que se ha considerado su
rigidez a torsión durante el cálculo de esfuerzos, esto es obvio, dado que
calcular con o sin rigidez torsional afecta al resto de la estructura. Por
ello, a veces es interesante modelizar las vigas sin rigidez a torsión,
salvo claro está las excepciones comentadas de torsión de equilibrio. Sí
conviene siempre disponer una cuantía que controle la fisuración, lo cual
según EHE (art. 49.4), se consigue colocando cercos con una separación
(st) menor o igual que la mitad de la menor sección transversal
de la pieza (st≤a/2), que un tercio de la mayor sección
transversal de la pieza (st≤b/2) y que 200 mm (st≤200
mm).
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Diferencia
entre el cálculo de las deformaciones en hormigón armado y en acero
laminado
(cálculo de flechas en vigas de hormigón frente a vigas
metálicas)
Es reveladora la actitud de algunos técnicos noveles, que
muchas veces translucen su inexperiencia cuando, a la hora de comprobar
elementos estructurales, tienden a valorar cuestiones resistentes -por ejemplo
pequeñas diferencias de área en las armaduras-, pasando por alto serios
problemas de deformación.
Creo, o al menos esta es mi experiencia personal, que gran
parte de la culpa la tiene la enseñanza tradicional de las estructuras, en la
que se le da más importancia al cálculo a resistencia de los elementos que a
su comportamiento frente a las deformaciones. Quiero suponer, que el fallo no
está tanto en que los profesores de las asignaturas estructurales no sean
conscientes de ello, sino más bien todo parte de un problema de tiempo: en un
año se comienza con los dominios de deformación del hormigón y en Mayo, con
la lengua fuera habremos conseguido llegar en el temario al final de los estados
límites últimos. Así a los alumnos les queda la siguiente sensación: al
parecer mientras un elemento no rompa no hay por qué preocuparse.
Sabemos que esto no es del todo así, pues aunque no rompa la viga
en cuestión, sí puede romper por ejemplo un tabique que esté descansando sobre ésta
debido a una flecha excesiva.
Si está en vuestras manos os
aconsejo leer un libro muy ameno: "Estructuras o por qué las cosas
no se caen" (1). En él podréis concienciaros de una propiedad
esencial en el estudio de las estructuras: <<todos los materiales
y las estructuras se desplazan, en cantidades variables, cuando se les
carga>>. Parecerá una ridiculez a estas alturas, pero siempre
será bueno tener presente dicha cuestión que os aseguro no está en la
mente de todos -y mucho menos en la de los ajenos a la profesión-: la
deformación y la resistencia van intrínsecamente unidas, por lo que si
algo está resistiendo es porque se ha deformado o al revés (Ley de
Hooke: s=E e,
que cumplen todos los materiales elásticos).
Dejándome a éstas alturas del artículo de rodeos, quisiera tratar en este apartado sobre uno de los errores más habituales que he
encontrado entre algunos colegas de profesión: el cálculo de flechas
en elementos sometidos a flexión de hormigón armado como si éste se tratara
de un material elástico, utilizando cálculos análogos a los que se usan con
elementos metálicos.
Para el cálculo de deformaciones en vigas metálicas
tratamos a los materiales como elásticos, es decir, que cumplen la ley de
Hooke que hemos escrito arriba. Esto es cierto porque generalmente
consideramos que el acero no ha plastificado todavía para las situaciones de
servicio en las cuales queremos obtener las flechas. Así basta con remitirnos
a un prontuario con la inercia I y el módulo de elasticidad E en este caso
analizando la deformación por
flexión, o bién introducir dichos datos en un programa de cálculo matricial
para que obtengamos las deformaciones correspondientes.
El hormigón armado
es un material complicado, para empezar, como sabemos el hormigón
resiste muy mal las tracciones, es por eso principalmente por lo que se
le añade el acero, con lo que tenemos una sección mixta, pero ante todo
no se puede considerar su
comportamiento como elástico, o al menos no durante la mayor
parte de la vida de los elementos con él construidos. A poco de
cargarse, en algunos puntos de la sección de hormigón aparecerán
tensiones de tracción que fisurarán la viga, con lo que estaremos
trabajando con una "viga cosida". Estas fisuras son muy
pequeñas y no se ven a simple vista -microfisuras- pero tiran por
la borda cualquier analogía no inherente de peligro con el cálculo de
deformaciones de un material elástico como es el
acero.
Por tanto, en el cálculo de las deformaciones del
hormigón entra en juego la fisuración, y con ella el concepto
de inercia fisurada (If) o inercia del trozo de sección
que nos queda una vez rota la viga -esta es siempre menor que la
inicial, así que... ¡cuidado!-. Con esta inercia fisurada, podríamos,
una vez recapacitado lo anterior, entrar en las fórmulas clásicas o
programa informático de materiales elásticos, y comenzar a
calcular flechas.
Sin embargo se añade otro problema dada la
compleja historia de la vida de las estructuras, y este es que dicha
sección fisurada y por tanto If no son constantes. A medida que se van
añadiendo cargas a los elementos, se va disminuyendo la sección
resistente de hormigón y con ello la inercia, de modo que no podemos
calcular las deformaciones de un golpe, sino que tenemos que seguir el
proceso de carga de los elementos: se quitan los puntales y las vigas
comienzan a soportar su propio peso y el de los operarios que por ellas
circulan... y se produce una primera fisuración que afectará a
cálculos posteriores, se dispone la solería... y se produce una nueva
fisuración, ... y así matemáticamente hasta el infinito.
En definitiva el cálculo de flechas en hormigón
armado es tedioso, aunque cada vez más los programas
informáticos abarcan la obtención de las deformaciones -¡ojo! no
todos, existen programas en el mercado que no consideran más que la
flecha con secciones no fisuradas, informaros bien primero en el manual
de instrucciones correspondiente-.
Nuestra instrucción para hormigón (EHE) incluye en su
artículo 50 un método simplificado específico y apropiado para calcular las
deformaciones en elementos solicitados a flexión simple o compuesta, en
definitiva enfocado a calcular flechas, y que sería el que deberíamos
utilizar para nuestros cálculos. El método (art.52.2) está basado en
la fórmula de BRANSON y trabaja con una inercia equivalente Ie
resultado de interpolar entre la inercia bruta y la fisurada (es decir
tomar una inercia intermedia apropiada que se encuentre entre la total o
bruta Ib y
la fisurada If), que describimos a continuación:
Para determinar los valores de If, la norma nos remite al Anejo 9 sobre secciones fisuradas en flexión simple.
Por último deciros que dado lo complicado de realizar un
cálculo manual correcto con esta formulación, han surgido métodos más o
menos satisfactorios que tratan de realizar un cálculo elástico pero
penalizando la inercia bruta o bien el módulo de elasticidad o bien ambos, de manera que
se aumente el valor de los desplazamientos. Dichos métodos pueden ser
utilizados con prudencia, especialmente para predimensionados y tanteos, pero en
general carecerán de validez a la hora de justificar nuestras
estructuras.
Notas:
(1) Estructuras o por qué las cosas no se caen. Editorial Celeste.
J.E. Gordon
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¿Es
necesario anclar en patilla las armaduras de tracción en mallas
inferiores de zapatas?
(Criterios de clasificación de zapatas y sus
métodos de cálculo).
No son pocas las que veces me he encontrado ya en obra
con zapatas cuya armadura inferior se ha dispuesto mediante mallazo –me
estoy refiriendo a mallazo no electrosoldado sino atado con alambre- y no se
ha tenido en cuenta la terminación de este en patilla. Queda
entonces la siguiente duda, ¿es obligatorio exigir patilla
de anclaje en el extremo?
Nadie mejor una vez más, que el profesor Calavera y su
libro sobre cimentaciones para aclarar tal pregunta. Tratemos de resumir
brevemente la situación estructural en la que se encuentra el anclaje de
dichas armaduras. Antes abordaremos el criterio de rigidez de la cimentación.
La rigidez en una cimentación no es un criterio fácil,
y de hecho frecuentemente lo olvidamos. En un primer posicionamiento diremos
que la rigidez de una cimentación depende no sólo del elemento estructural
en cuestión, sino también del terreno en el que este se apoya, incluso
podemos ir a más y tener en cuenta el conjunto estructural que carga en
nuestra cimentación. Sin embargo, este criterio general no es el utilizado en
la Instrucción EHE y sus versiones anteriores, éstas dan una clasificación
desde el punto de vista estructural, olvidando al terreno. En el caso de zapatas,
que es el que nos ocupa, diremos que la EHE distingue entre zapatas
rígidas y flexibles(1). La clasificación que esta norma hace
es la siguiente:
-Rígida:
Vmax £
2h
-Flexible: Vmax
> 2h
Fig
59.2.b de la EHE. Criterio de clasificación de zapatas según EHE
Así dada la geometría de la zapata asimilaremos el
cálculo de la armadura longitudinal a un caso de vigas ménsula -caso
de la zapata flexible- o a una especie de ménsula corta -caso de zapata
rígida-.
La norma distingue entonces entre el cálculo para cada tipo de zapata, en el
caso de zapatas rígidas estamos dentro de una región D o lo que es lo
mismo, una zona donde no es válida la teoría de la flexión (no son válidas
las hipótesis de Bernouilli-Navier o kirchhoff).
Lo contrario ocurre en zapatas flexibles donde
estamos en una región B donde son aplicables las hipótesis
anteriores. En general estamos familiarizados con el cálculo
de regiones B, ya que con esta teoría calculamos vigas y pilares. Las regiones D
en cambio son más desconocidas para nosotros, éstas se producen según la EHE
(art. 24.1) cuando existen discontinuidades geométricas debidas a cambios
bruscos de geometría, discontinuidades estáticas debidas a la aplicación de
cargas concentradas y reacciones, o por discontinuidades generalizadas debidas
a que en la estructura en su conjunto por sus formas y proporciones no se le
pueden aplicar las hipótesis anteriores –este es el caso por ejemplo de las
vigas de gran canto y de las zapatas rígidas de nuestro estudio donde las
proporciones del elemento se alejan de las del elemento barra y no nos
permiten la aplicación de la teoría de la flexión- .
El método que la norma nos indica para el cálculo
de las regiones D es el método de las bielas y los tirantes, un método
que no es nuevo dado que ya lo estábamos utilizando sin tener conocimiento de
ello. Así por ejemplo el cálculo a cortante y a torsión de la actual norma
y de la anterior EH-91 estaba basado en la celosía (analogía de Ritter-Mörsch)
derivada de la aplicación del método de las bielas y los tirantes al modelo
de viga fisurada, las bielas representan al hormigón comprimido y los
tirantes a la armadura traccionada.
En cuanto a la puesta a punto de este método en
zapatas, en Francia fue
desarrollado hace años dicho método a causa de la rotura observada en
zapatas proyectadas por la teoría de la flexión(2).
El método consiste (art. 24.2.2 de la EHE) en sustituir
la estructura, o parte ésta que constituye la región D, por una estructura
de barras articuladas, generalmente plana o en algunos casos espacial que
representa su comportamiento. Las barras comprimidas se definen como bielas y
representan la compresión del hormigón. Las barras traccionadas se denomina
tirantes y representan las fuerzas de tracción de las armaduras.
De esta manera el modelo debe equilibrar los esfuerzos
exteriores existentes en la frontera de la región D, cuando se trata de una
zona de la estructura; o las reacciones de apoyo, en el caso de una estructura
con discontinuidad generalizada. Generalmente partimos de un esquema de
funcionamiento de la zona o el elemento como puede ser un estudio de la
distribución de tensiones mediante el conocimiento de las líneas isostáticas
(distribución de tensiones y compresiones principales) o bien un diagrama de
fuerzas que simule el funcionamiento y el equilibrio y la compatibilidad de
deformaciones del modelo. Con
estos puntos de partida introduciremos las barras articuladas que simulan el
comportamiento del elemento. Existen una serie de pautas a seguir, como por
ejemplo que si se pueden dar varios modelos de estudio, el modelo con menor
longitud total de tirantes (barras a tracción) es el más rígido y por ello
el que mejor puede describir el comportamiento del hormigón armado(3).
Fig.
59.4.1.1.a de la EHE. Modelo de cálculo de zapatas rígidas
Todo esto nos lleva al punto de inicio: ¿cómo afecta la
rigidez de la zapata en el cálculo de su armadura y especialmente en el
anclaje de ésta en el extremo?
Para ello partiremos del conocimiento de las fórmulas
que calculan la armadura de tracción de las zapatas y para cuyo análisis
detallado remito al libro antes citado del profesor Calavera(4).
Estas fórmulas están simplificadas para una supuesta carga axil N que llega
al pilar y para un
y para un brazo elástico interno o distancia entre
el eje de la armadura traccionada y el de aplicación de la resultante del
bloque comprimido, z = 0.9d, usual en vigas. Si además existiera un
momento flector el análisis sería análogo incluyendo la influencia de este.
Tenemos las siguientes capacidades mecánicas de la armadura necesarias:
-Caso de zapatas rígidas:
As fyd=
Nd (a2-a1) / (d a22 )
[(a22-4x2)/8]
[1]
-Caso de zapata flexible:
As fyd=
Nd /(0,9 d a2) [(a2-2x)2/8]
[2]
Con:
a2= longitud de la base de la zapata en la
dirección de cálculo.
a1= longitud de la base del pilar en la
dirección de cálculo.
Nd= Axil de cálculo que llega a la base del
pilar.
x= coordenada que tiene su origen en el eje del pilar y
vale a2/2 en el extremo de la zapata.
Observemos los resultados aplicados de las fórmulas
anteriores a un caso particular:
a2=
1,80 m
a1=
0,40 m
Nd=
20 T
Quedan los siguientes gráficos de las parábolas
de las fórmulas [1] y [2] donde se han representado las capacidades mecánicas
de la armadura a lo largo de la base de la zapata (el valor de x=0
corresponde al eje de simetría de la zapata o eje del pilar y el valor
máximo de x corresponde al extremo de la zapata para x=a2/2):
Se pueden estudiar otros casos, pero en general las
conclusiones son las siguientes, que se pueden obtener mediante la comparación
matemática de ambas fórmulas:
-El método de cálculo a flexión conduce a mayores
armaduras que el cálculo por el método de las bielas. Sólo existe un
pequeño rango en el que el cálculo como zapata rígida conlleva mayor
armadura y esta es ligeramente superior. De aquí que en la mayoría de los
casos se opta por calcular cualquier zapata mediante el método flexible.
-La pendiente de las curvas anteriores son diferentes,
mientras que en las zapatas flexibles existe concavidad, en las rígidas la gráfica
indica convexidad. Analizemos el significado de la pendiente: las gráficas
dadas nos indican la capacidad mecánica de las armaduras traccionadas, es
decir las toneladas que éstas tienen que resistir. Si dividimos por el área
de las armaduras las formulas dadas, los gráficos representarían las
tensiones (T) a las que se somete la armadura. Entonces la pendiente de las gráficas
se traduce como la derivada de la tensión respecto a x (dT/dx) lo que viene a ser sinónimo de la tensión de adherencia:
τb=
dT/dx 1/(n p
Φ) [3]
con:
n = nº de redondos por
unidad de ancho de la cimentación.
Φ
= diámetro de la armadura.
Un valor alto de esta tensión de adherencia significará que las barras pueden llegar a deslizar entre el hormigón. El valor máximo de la tensión de adherencia se comprueba experimentalmente y existe un valor de resistencia de cálculo por adherencia
τbd con el que se compara el anterior
τb.
Conclusión:
En definitiva todo esto significa que en zapatas rígidas
siempre se debe disponer patillas de anclaje a partir del extremo de la
zapata, con objeto de que las barras trabajen correctamente. La misma EHE
obliga a llevar toda la armadura hasta el extremo de la zapata y a anclar
adecuadamente. De otro modo y como la misma norma apunta, es aconsejable en
zapatas rígidas el anclaje mediante barra transversal electrosoldada, ya que
entonces se podrá prescindir de la adherencia
En zapatas flexibles es siempre conveniente
llevar la totalidad de las barras al menos hasta el extremo(5).
La norma en su art. 59.4.1.1.2 complica el estudio del anclaje de las zapatas
flexibles proponiendo la elección del anclaje más desfavorable entre el
necesario (lb) a partir de una sección situada a un canto útil
del extremo de la zapata, y el que se necesitaría para anclar la armadura
frente a la acción de una fuerza dada Td aplicada en la base de la
zapata (ver fig. 59.4.2.1.1.2.b de la norma) a partir de una sección que se
encuentra a una distancia 0.5h desde el extremo de la zapata. En definitiva
para zapatas flexibles habría que echar unos números para decidir la
exigencia o no del anclaje en patilla.
Por último, apuntar que se pueden calcular áreas de
armadura traccionadas en la base de las zapatas rígidas y flexibles por el
método de flexión, ya que como hemos visto apenas varían los resultados,
pero en el caso de que la zapata sea rígida habrá que prolongar siempre la
armadura en patilla para garantizar el anclaje.
(1) Esto
supone un cambio frente a la antigua EH-91 que clasificaba a éstas en tres
tipos (I,II, y III).
(2)Al parecer la causa de la rotura era el hecho de que no se llevaba la
totalidad de la armadura hasta el extremo de la zapata siguiendo los
armados clásicos de vigas a flexión, cuando las zapatas realmente
respondían a un tipo rígido. La rigidez de las cimentaciones superficiales. Fernando Musas
Labad.
Doctor ingeniero de Caminos Canales y Puertos. Profesor titular de Mecánica
del Suelo de la ETSAM. Revista de Obras Públicas/Marzo 2002/Nº3419
(3)
Regla
dada por el profesor Jörg Schalich según apunta el profesor Alvaro Garcia
Meseguer. Hormigón Armado. Elementos estructurales. Alvaro Garcia
Meseguer.
Fundación Escuela de la Edificación.
(4)
Cálculo
de estructuras de cimentación. J. Calavera. INTEMAC
(5)
En
zapatas flexibles y al igual que ocurre con el armado de vigas ménsulas podría
optarse por cortar las barras según el diagrama de momentos -no es practica
usual e incluso supone un armado más complejo-.
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Axil máximo que puede resistir un pilar de hormigón armado
Me voy convenciendo poco a poco de la nimia cultura estructural que poseemos muchos
de los técnicos que nos dedicamos a esto, entre los cuales me incluyo.
No pude ser testigo de épocas anteriores a la masiva implantación de los
programas informáticos dado que todavía pululaba por la universidad,
pero creo que anteriormente a este hito temporal el estructuralista
conocía mejor como trabajaban los materiales, y era capaz de dimensionar
y comprobar elementos con un lápiz y una calculadora.
Dicho esto, quisiera aquí refrescar un pequeño cálculo, de estos que
llamaríamos 'recetas' y que si bien puede no tener mucha utilidad
dado que es raro que una sección de un pilar se encuentre sometida
exclusivamente a esfuerzo axil, -simplemente por normativa deberíamos
implementar el efecto de la excentricidad accidental con lo que al menos
ya existiría un pequeño momento-, sí puede servirnos como cota para
fijar el intervalo en que se moverá éste -existan o no momentos-.
Una posible aplicación práctica de esto sería su uso como intervalo
dentro de un programa de cálculo que comprobase secciones de un pilar a
flexocompresión esviada mediante un método iterativo. Cuando el usuario
introduce unos esfuerzos (N,Mx,My) con valores de N por encima de los
que puede resistir la sección, el programa se quedará 'colgado',
iterando indefinidamente, ya que jamás conseguirá encontrar dicho
valor. Por ello será necesario conocer dichos números a priori, de modo
que el programa al encontrarse cantidades superiores pare e informe al
usuario.
Hago notar también que el resultado es válido para cualquier sección de
H.A. sometida a solicitaciones normales, es decir que este cálculo es
trasladable también, por ejemplo, a una viga.
Para ello lo que haremos será irnos al gráfico de los dominios de
deformación -art. 42.1.3 de la EHE, un gráfico muy útil sobre el que ya
hemos hablado en De Mecánica otras veces puesto que expresa de
manera visual todas los posibles planos de rotura frente a
solicitaciones normales de una sección de hormigón-.
Una vez delante del gráfico de los dominios nos quedaremos con los
planos de deformación x = +¥ y x = -¥,
que son aquellos que proporcionan estados de compresión simple y
tracción simple respectivamente. Pues bien, hemos dado precisamente con
los planos que proporcionan mayor axil de compresión y mayor axil de
tracción para nuestro pilar -o séase, si fuera el caso, una viga-.
 Resulta que los axiles máximos se
consiguen para una deformación máxima uniforme (diagrama rectangular),
concretamente para el -10 por mil y el 2 por mil. En el primer caso es
obvio que el acero produce una resultante mayor de este modo -cuando
todas sus fibras se deforman por igual y en el mismo sentido- ya
que de existir un flector siempre actuaría reduciendo la deformación en
alguna de las barras y por tanto se generaría un axil menor. Lo mismo
aunque es un poco más complicado ocurre para la compresión: con las
barras de acero sigue siendo válido lo anterior, y algo análogo ocurre
con el hormigón ya que el diagrama parábola rectángulo se convierte en
un rectángulo con valor de la tensión (0.85 fcd).
Si se localizan en el diagrama de
interacción espacial de la sección como el de al figura anterior
extraído del gran libro del profesor Álvaro García Messeguer [1], corresponderán a los dos puntos
S y T que
acotan dicho diagrama. Es decir, si fuera cortando el diagrama por
planos N=cte, siempre intersecarían curvas cerradas (Mx,My) -las que
suelen aparecer en las bibliografías, si la sección es doblemente
simétrica puede aparecer sólo un cuarto de la curva-, pero si corto por esos
valores de N, sólo obtendré un punto.
Una vez dicho todo esto vamos a realizar un ejemplo con una sección
dada. Pongamos un pilar de sección 30x40cm, con 3f20
por cara. El acero será B-400 S y el hormigón HA-25. Supondremos unos
coeficientes de minoración de resistencia de los materiales para una
situación de proyecto permanente o transitoria de
gc=1,50 para el hormigón y
gs=1,15 para el acero.
Nos queda:
MÁXIMO AXIL DE COMPRESIÓN:
-Axil resistido por el hormigón:
0,85 fcd b h = 0,85 *25,00/1,50 N/mm2
*300,00mm * 400,00mm=1700000,00N
-Axil resistido por el acero:
nº redondos* Aredondo* fyd = 8 * 314,16mm2
* 400,00/1,15N/mm2= 874184,35N
Queda un axil total de:
Ncomp max=1700000,00 + 874184,35 = 2574184,35N=2574,18kN
MÁXIMO AXIL DE TRACCIÓN:
-Axil resistido por el hormigón= 0 (Toda la sección traccionada)
-Axil resistido por el acero:
nº redondos* Aredondo* fyd = 8 * 314,16mm2
* 400,00/1,15N/mm2= 874184,35N
Queda un axil total de:
Ntracc max= 874184,35N = 874,18kN
Habrá que remarcar que estos valores de los axiles son valores de
cálculo o mayorados, y que para obtener los de servicio tendríamos que
dividirlos por el correspondiente coeficiente de mayoración de acciones.
Igualmente, es conveniente descontar a la sección de hormigón el área de
acero para cuantías importantes. En nuestro caso el axil de compresión
quedará con esta reducción:
-Axil resistido por el hormigón:
0,85 fcd b h -
nº redondos* Aredondo=
=0,85 *25,00/1,50 N/mm2
*(300,00mm * 400,00mm - 8 * 314,16mm2)= 1664395,20N
Y queda un axil total de:
Ncomp max= 11664395,20N + 874184,35 = 2538579,55N=2538,58kN,
que supone aproximadamente una reducción del 1,40%
Para saber más:
[1] Hormigón armado. Cálculo en estados límites U.D. 2. Universidad
Nacional de Educación a Distancia UNED, Escuela de la Edificación. |
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Longitud mínima de
una barra estructural:
Puede que a veces nos hayamos preguntado cual es la mínima
longitud que puede disponerse en una barra de acero estructural en hormigón
armado. La respuesta es sencilla: debido a que la barra debe estar
suficientemente anclada nunca se debe disponer una longitud menor de dos veces
la longitud neta de anclaje 2*lb,net para que ésta pueda trabajar.
Ésta cuestión puede resultar importante a la hora de armar
los negativos pasantes de las vigas en los encuentros con el pilar, al igual que
a la hora de dimensionar los refuerzos a positivos en vigas. En estos casos
puede ser frecuente olvidar que existe dicha longitud mínima, especialmente en
el caso de diámetros de armadura grandes, que necesitan una generosa longitud de
anclaje.
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Sobre casos particulares de
limitación de cuantías:
Cuantías mecánicas máximas
Aunque lo usual es que oigamos hablar de cuantías mecánicas
mínimas, asociadas a evitar una posible rotura frágil de las piezas, también las
normativas nos obligan a no disponer armaduras excesivas. ¿Por qué? Una
respuesta, que yo no sé si con
buen criterio transmití a mis alumnos, es que cuando la sección dispone de tal
proporción de armadura aquello deja de comportarse como hormigón
armado y se asemeja más a una sección mixta compuesta por un perfil de acero
envuelto por hormigón. En la bibliografía, en general no se pronuncian acerca de
este tema. En la Instrucción -EHE- tampoco, exclusivamente se justifica la
necesidad de cuantías mínimas, bien sean mecánicas o geométricas, pero nada se
habla de las máximas, quizás por parecer tema baladí, quizás por no estar del
todo claro o copiar dicha prescripción de la norma anterior.
El profesor Calavera es
de los pocos que acreditan dicha cuantía, en su ya clásico libro Proyecto
y cálculo de estructuras de hormigón -INTEMAC, 2ª Edición 1991- comenta que
estas cuantías representan un límite razonable para evitar la excesiva
congestión de armaduras y una alta sensibilidad al fuego.
Aprovechemos finalmente este punto para ver cómo resuelve la EHE
este punto. Se limita la
cuantía mecánica máxima en los casos en que la sección esté sometida a estados
de tensión en los que exista compresión. Esto significará compresión simple y
compresión compuesta -art. 43.3.3-, en cuyo caso deberemos cumplir:
A's1 fyc,d ≤ 0,5 fcdAc
A's2 fyc,d ≤ 0,5 fcdAc
donde:
A's1 y A's2 son las
armaduras principales a compresión. Al estar en compresión simple o compuesta
ambas armaduras -superior e inferior- están sometidas a compresión.
fyc,d es la resistencia de cálculo del acero a
compresión fyc,d= fyd siempre que no supere los 400N/mm2.
fycd es la resistencia de cálculo del
hormigón a compresión.
Ac es el área de la
sección total de hormigón.
Lo que busca la instrucción es que la capacidad mecánica
del acero de la sección no sea mayor que la del hormigón cuando existe
compresión dominante. Este objetivo se ve más claro en los comentarios a
dicho artículo, donde se indica la misma formulación en el caso de compresión
simple y armadura simétrica:
A's fyc,d ≤ fcdAc
donde:
A's es la armadura total -longitudinal- a
compresión.
Nos atreveríamos a decir que ésta última formulación es la
más general y nos serviría también para el caso en que tuviéramos armaduras
distintas en cada cara.
Por último quisiéramos recordar que fuera de la compresión
simple y compuesta que
ocurre generalmente en pilares, también para el caso de flexión compuesta con
axiles de compresión recomendamos limitar la armadura comprimida. Nos lleva a
ello el criterio de armado que se propugnaba desde EH-91 según el método del
Momento Tope con la EH-91. En este caso se limitaba la armadura comprimida de
manera que
A's fyc,d ≤ 0,5 fcdAc.
Última modificación (31/10/04)
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Cuantías geométricas mínimas de pilares
Existe la confusión que viene de la aplicación de las
cuantías geométricas mínimas del artículo 42.3.2 de la EHE al caso de
vigas, de querer aplicar la cuantía en pilares por caras. Esto no es así, la CGMin en pilares (del 4 por mil para ambos
aceros según dicho artículo) se aplica a la suma de todas las armaduras
longitudinales de un pilar, que por otro lado sabemos que debe constar al
menos de 4 redondos en pilares rectangulares y de 6 en el caso de los
circulares, y además tener al menos diámetro del 12 en las barras (ver art.
55 sobre soportes en la EHE).
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Elementos que no
tienen definida cuantía geométrica mínima.
El artículo 42.3.2 de la EHE sobre cuantías
geométricas mínimas hace referencias a algunos elementos estructurales
característicos -pilares, losas, vigas y muros- pero no dice nada acerca de
otros tales como pantallas, pilotes o zapatas, e incluso deja para el estudio
casos especiales como las losas de cimentación.
PILOTES Y PANTALLAS:
En general la tendencia suele
asimilar los elementos que no vienen definidos con los que sí lo están por
su semejanza, así los pilotes - y esto sí viene definido en la
Instrucción [1] -se
tratarán como pilares en cuanto a la cuantía geométrica, mientras que las
pantallas -y esto no viene definido en la Instrucción podrán considerarse como muros
a la hora de definir las cuantías geométricas mínimas.
LOSAS DE CIMENTACIÓN:
Existe bibliografía técnica sobre cuantías. Así por ej- el profesor Calavera
en su libro Cálculo de Estructuras de Cimentación [2] propone para placas
-losas- de cimentación una cuantía geométrica total en cada dirección del
1,5 por mil. Esta cuantía es algo menor que la que exige la EHE para losas en
general (2,0 por mil para aceros B 400 S y 1,8 por mil para aceros B 500 S), si
bien la EHE deja abierto el tema para las losas de cimentación. Entendemos que
esta cuantía total supone la suma de armaduras inferiores superiores y laterales
siguiendo los esquemas de la EHE. El profesor Calavera justifica dicha cuantía
al asimilarla a la de piezas lineales en general del Eurocódigo 2.
ZAPATAS:
La misma cuantía y por los mismos motivos es la que
recomienda el profesor Calavera para zapatas. La zapata llevará en ambas
direcciones una cuantía mínima del 1,5 por mil. Generalmente las zapatas
llevan exclusivamente armadura inferior, pero entendemos que en caso de tener
armadura superior o lateral igualmente contaría para la cuantía.
El clásico Hormigón Armado de Montoya-Messeguer-Morán [3]
sin embargo acepta los valores de la norma para losas (el 2,0 y 1,8 que
comentamos anteriormente) con lo que la exigencia es algo mayor.
Sin embargo, y una vez más para refutar la idea que tenemos
del cálculo de estructuras como algo parecido a una ciencia exacta, alguna
publicación afirma lo siguiente: "Las cuantías geométricas mínimas no tienen
razón de ser en zapatas aisladas, porque son para controlar fisuraciones
producidas por esfuerzos de retracción y temperatura [comentarios EHE: Art.
42.3.5, EHE], esfuerzos que son insignificantes en zapatas, debido a sus
dimensiones" [4].
[1] La EHE en su artículo no se refiere literalmente a las
cuantías, sino que cita textualmente: "La comprobación de un pilote es
análoga a la de un soporte, en que el terreno impide, al menos parcialmente,
el pandeo". Dado que para la comprobación de un pilar es necesario
verificar el cumplimiento de su cuantía geométrica hemos de entender que es
obligatorio el mismo requerimiento de armadura para el pilote.
[2] Cálculo de Estructuras de
Cimentación. INTEMAC. J. Calavera.
[3] Hormigón Armado. P. Jiménez Montoya, A. García Meseguer y F. Morán Cabré.
[4] Antoni Blázquez Boya. "Tipologías de cimientos y contención".
Artículo dentro de la publicación "La estructura y el proyecto". (AA.
VV.) Editorial Col·legi d'Arquitectes de
Catalunya i Demarcació de Barcelona.
Última modificación (18/07/05)
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¿Qué ocurre según la EHE si un
muro posee menos de 7,5m de longitud?
Si hacemos caso al artículo 42.3.2 de la EHE sobre
cuantías geométricas mínimas y a los comentarios adjuntos a la tabla
42.3.5, un muro en el que se dispongan juntas verticales de contracción a
distancias menores de 7,5m con interrupción de la armadura horizontal puede
beneficiarse de una disminución de la cuantía geométrica mínima de dicha
armadura en un 50%. Por tanto en el caso en que nuestro muro mida menos de
7,5m es posible usar dicha reducción.
Mi pregunta es ahora la siguiente,
¿qué ocurre si dicho muro es quebrado y entonces la longitud total es mayor
a 7,5m aunque no lo es la dimensión de ninguno de sus lados?, como ocurre por
ejemplo en el caso de un muro de ascensor -muro pantalla asimilable en
cuantías a un muro normal-, ¿sigue siendo de aplicación la reducción
anterior? Espero vuestras respuestas.
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Cuando es absurdo comprobar la fisuración
de elementos estructurales.
Si hemos comprendido bien el por qué de las
cuantías geométricas mínimas (CGMin)
no nos debe sorprender el siguiente razonamiento: es absurdo comprobar a
fisuración un elemento cuya armadura ha sido dispuesta por CGMin (si
habláramos con propiedad deberíamos decir: es absurdo comprobar un elemento a
fisuración frente a una solicitación para la cual se ha obtenido la armadura
por CGMin). Como sabemos, cuando armamos por CGMin un elemento, es porque la
solicitación a la que está sometido es tan pequeña que no llega siquiera a la
que produce la fisuración.
Pongamos un ejemplo: en el caso de una viga a flexión, si
ésta se ha armado por CGMin, esto quiere decir que tras calcular se comprobó
que Mfis<Md, es decir, que el momento de fisuración era
superior al de cálculo.
29/04/03 |
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Sobre los coeficientes de
mayoración y su aplicación a las acciones, empujes del terreno
Existe una confusión que viene del tratamiento de las
acciones en la Mecánica del Suelo y que no es aplicable al dimensionamiento y
comprobación de elementos de hormigón armado u otro material. La cuestión
se plantea con el ejemplo siguiente: ¿se deben mayorar las acciones del
empuje del terreno en el cálculo de un muro de ménsula? Por supuesto,
siempre que vayamos a dimensionar o comprobar elementos de hormigón armado,
acero, etc. se deben mayorar -según el método determinista que rige en
nuestras normas- las acciones mediante sus correspondientes coeficientes. No
se mayorarán las acciones debidas al empuje del terreno para calcular por ej-
tensiones del terreno en base de cimentaciones, o deslizamientos y vuelcos,
dado que estos cálculos ya poseen su coeficiente de seguridad -caso
general de las presiones admisibles del terreno-, o bien buscan precisamente
dichos coeficientes, que serán mayores que la unidad -caso por ej. del
coeficiente de seguridad al vuelco o al deslizamiento-
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Limitación de contraflechas:
En general en las normas actuales se definen
límites de deformación mediante acotación de flechas, así por
ejemplo en la EHE, la EF-96 y la EA-95 se limita el valor de las mismas.
Esto conlleva a suponer que se nos está limitando exclusivamente la
deformación 'hacia abajo' -es decir la deformación debida a que la
viga flecta disminuyendo la ordenada de su fibra neutra-, sin embargo
igual de perjudicial sería para un tabique u otro elemento frágil que
descanse sobre vigas y forjados una 'contraflecha' -es decir una
deformación por flexión en que la posición de los puntos de la fibra
neutra aumentan su ordenada-. Por ello es de suponer que las
contraflechas que se dan a las vigas y viguetas con objeto de disminuir
la flecha en estados posteriores de carga debería ser tal que
-especialmente una vez dispuestos los elementos frágiles tipo tabique-
no superen tampoco los límites propuestos por las normas, estando por
tanto el valor acotado tanto superior como inferiormente.
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