|
Estudio
de los modelos de oscilador con un grado de libertad. Nociones para el
cálculo sísmico
Si queremos entender correctamente las normativas sísmicas,
y en nuestro caso la normativa NCSE-02, lo correcto será que entendamos
los principios básicos del análisis dinámico (teoría de ondas y
vibraciones). Para ello vamos a dar aquí las primeras nociones acerca de
las características de los movimientos básicos: el movimiento armónico
simple, el movimiento armónico simple amortiguado y al final el caso sísmico.
Cada uno de ellos se corresponde con un modelo de oscilador, de cuyo
estudio podemos obtener las bases dinámicas del movimiento.
Existen como hemos dicho tres modelos dinámicos
sencillos cuyo estudio nos permitirá el análisis del modelo sísmico,
estos son:
1.
El oscilador con vibración libre no amortiguada.
2.
El oscilador con vibración libre amortiguada.
3.
El caso sísmico.
En todos estos casos suponemos que existe sólo una
sola partícula concentra toda la masa y que puede desplazarse
exclusivamente en una dirección, por lo que hablamos de un único grado
de libertad.
Aclararemos primero el concepto de vibración libre.
Por este se entiende frente al de vibración forzada, aquella vibración
libre en la que no existe una fuerza impulsora periódica que realimenta
el movimiento. Veamos el ejemplo con un columpio. Si empujáramos una sola
vez la sillita se trataría de una vibración libre, de hecho sería una
vibración libre amortiguada dado que el rozamiento terminaría por parar
el sistema. El caso de la oscilación forzada la tenemos también en el
columpio, cuando cada vez que baja el asiento volvemos a empujarlo. Como
se habrá experimentado, de esta segunda manera es más fácil conseguir
llegar más arriba.
Pasemos
a ver las principales características de dichos modelos:
1. El oscilador con vibración libre no
amortiguada OVLNA
Este es el oscilador más sencillo, queda definido
por las siguientes características mecánicas (ver figura):
·
Masa m: suponemos concentrada la masa en un punto.
·
Rigidez K, en este caso se identifica con la rigidez de la
barra que une a la masa con el suelo. La rigidez produce una fuerza
recuperadora del movimiento, que en nuestro caso consideraremos elástica
(fe=Kx). En estructuras de edificación la K se obtendrá a
partir de la función de la rigidez a cortante de los pilares,
generalmente la suma de las rigideces de estos.
Figura
1. Características fundamentales del OVLNA
En este modelo no se explica la causa inicial
del movimiento, suponemos que la partícula sufrió un desplazamiento de
su posición de equilibrio que le hizo comenzar a vibrar. A falta de
amortiguación el oscilador permanecerá continuamente en movimiento.
Si pusiéramos una lamparilla en el punto donde se
encuentra la masa m, y enfocáramos al modelo con una pequeña cámara
situada en el techo tal que se desplazara uniformemente en sentido
perpendicular al movimiento del oscilador veríamos una gráfica parecida
a la de la figura 2. En el eje de las ordenadas se representa la posición
de la partícula que contiene la masa respecto del tiempo x(t).
Figura
2. Movimiento del OVLNA
Este movimiento sinusoidal se conoce como movimiento
armónico simple. Existe una relación directa entre el movimiento armónico
simple y el movimiento circular asociado:
un movimiento circular uniforme se proyecta como un movimiento armónico
simple en su propio plano –ver figura 3-. Es por ello que a la hora de
definir las magnitudes que definen el movimiento armónico simple conviene
tener en mente la analogía con el movimiento circular.
Figura
3. Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular
Veamos pues los parámetros que definen el
movimiento:
·
La amplitud A donde se alcanza el máximo desplazamiento.
·
La pulsación o frecuencia circular w,
que es una velocidad angular en la analogía del movimiento
circular y tiene por dimensiones rad/s. Se define como:
.
·
El periodo T, que podemos definir simplificadamente como el
tiempo transcurrido entre dos máximos sucesivos (esta distancia se
denomina longitud de onda l).
En el esquema del movimiento circular se corresponde con el tiempo que se
tarda en recorrer una circunferencia completa.
·
La frecuencia cíclica f, que se define a partir del periodo
como:
La frecuencia cíclica por
el tiempo que dura el movimiento nos sirve para determinar el número de
ondas generadas: N = f · t.
·
El ángulo de fase inicial del movimiento fo, que al igual que antes se deduce por una relación con el movimiento
circular uniforme, aunque también podemos observar su sentido físico en
la figura 2.
Vamos a estudiar el equilibrio del oscilador. Debemos
darnos cuenta de que el movimiento del oscilador posee aceleración que
varía con el tiempo a(t), dado que la partícula llega varía su
velocidad a lo largo del mismo (esta es nula cuando se encuentra en su
punto de máximo desplazamiento).
Ahora ya estamos en disposición de analizar el
equilibrio. Para ello nos serviremos del principio de D’Alembert:
“Un sistema dinámico está en equilibrio cuando todas las fuerzas que
actúan en el mismo, incluidas las de inercia, cumplen las ecuaciones de
equilibrio estático en cada instante de tiempo”.
Por tanto debe cumplirse la segunda ley de Newton,
siendo las fuerzas existentes la de recuperación de la barra que
suponemos elástica y la de inercia debida a la aceleración de la partícula.
Por tanto, queda:
Figura
4. Equilibrio del OVLNA
fi(t)
+ fe(t) = 0
*El
signo (-) de las fuerzas de inercia surge por el hecho de oponerse a la
aceleración.
Siendo (I) la ecuación que representa al movimiento
del OVLNA. Ésta ecuación
podría también ponerse en función de w:
2. El oscilador con vibración libre amortiguada
OVLA
El siguiente modelo será el oscilador con
amortiguamiento. Un OVLA queda definido por las características
anteriormente tratadas y además por el amortiguamiento que se define
habitualmente según la ley de Kelvin-Voigt, haciéndose proporcional el
amortiguamiento a la velocidad del movimiento (amortiguamiento viscoso),
actuando siempre en sentido contrario a éste. El amortiguamiento viene
definido por su constante de amortiguamiento c y la fuerza debida al
amortiguamiento por fa=c x’ siendo x’ la derivada de la
posición respecto al tiempo, es decir la velocidad. Este amortiguamiento
viene a simular las características reales de la estructura en la que la
oscilación termina desapareciendo debido al rozamiento, las fuerzas de
fricción internas y la misma viscosidad del material.
El modelo queda como sigue:
Figura
5. Características fundamentales del modelo de OVLA
Veamos
el funcionamiento del OASA. En un instante dado t0 se desplaza
a la partícula de su posición de equilibrio, de modo que el sistema
comienza a vibrar. La rigidez de la estructura hace que se produzca una
fuerza restauradora y lleve a la masa primero a su lugar original y después
a un punto a una distancia algo menor que d en sentido contrario al
primero como consecuencia del amortiguamiento. Este mismo proceso se
repite hasta que el oscilador vuelve al reposo.
Figura
6. Análisis del movimiento del OVLA respecto al tiempo
Vamos a estudiar el equilibrio del oscilador. Ahora
además de las fuerzas que intervenían en el modelo anterior, aparece la
fuerza de amortiguamiento fa = c·x’ que se opone al
movimiento. Queda así:
Figura
7. Equilibrio del OVLA
fi(t) + fe(t) + fa(t)= 0
y sustituyendo el valor de las fuerzas:
Siendo (II) la ecuación que representa al movimiento
del OVLA. Es importante dicha ecuación dado que la mayoría de las
normativas trabajan con ella a la hora de establecer las características
dinámicas de sus modelos con varios grados de libertad. Estas ecuaciones
no serán más que la generalización de la del OVLA a varios grados de
libertad (por ej- el modelo de cortante).
2. El oscilador en el caso sísmico.
Este modelo cuyo nombre se ha tomado de la referencia
del profesor Barbat (r.1), representa mejor que los anteriores el
comportamiento ante el sismo ya que tiene en cuenta el origen de la
vibración. Hasta ahora nuestro modelo estaba en movimiento cuando comenzábamos
su estudio, no planteándonos como había surgido dicho desplazamiento.
Sin embargo, la vibración de las estructuras surge como respuesta a la
acción de las ondas sísmicas, que vamos a traducir en un movimiento del
terreno que posee una aceleración, una velocidad y un desplazamiento
dependientes del tiempo -a(t), v(t), s(t)-. Este supuesto es importante ya
que ahora el sistema de referencia elegido (eje X) no es inercial al estar
acelerado lo que influirá en el equilibrio.
Figura
8. Modelo del “caso sísmico”
Haremos un breve comentario acerca de los sistemas no
inerciales. No debemos temer a las fuerzas de inercia, estamos muy
acostumbrados a ellas, por ejemplo son aquellas que nos hacen caer cuando
no vamos bien agarrados en el vagón del metro; si el vagón acelera
parece como si nos empujaran hacia la cola del vagón, al contrario si el
vagón frena nuestro cuerpo sigue hacia delante “por inercia”. Esta
fuerza de la que en principio parece que desconocemos su origen, tiene su
causa en la aceleración del movimiento, de hecho ha estado presente hasta
ahora, pero nula. Esta fuerza es independiente de la que también es de
inercia y se ha considerado anteriormente debida a la aceleración de la
partícula de masa. Ahora la aceleración a tener en cuenta es la del
modelo completo como sólido rígido deslizando sobre el carrito –ver
figura 8-.
Planteemos pues el equilibrio, nótese que el
diagrama de fuerzas es el mismo que el del modelo anterior, sólo que en
las fuerzas de inercia se incluirá un nuevo término que hace referencia
a la nueva aceleración:
Queda:
fi(t) + fe(t)
+ fa(t) = 0
y sustituyendo el valor de las fuerzas:
ecuación que define las ecuaciones de movimiento del
caso sísmico y con lo que hemos completado la exposición introductoria
que nos habíamos planteado.
Es importante comentar que los modelos anteriores
pese a su sencillez -dado que tan
sólo poseen un grado de libertad, este es, el desplazamiento horizontal
en la coordenada X-, son un instrumento muy útil y el punto de partida
para entender sistemas más complejos.
Por otro lado con estos modelos ya podríamos
analizar la respuesta dinámica de algunas estructuras: aquellas en las
que pudiéramos suponer que su masa está concentrada en un punto, y la
rigidez del sus pilares frente a dicho desplazamiento puede asimilarse a
la rigidez K de dicho oscilador –la rigidez de la barra como hemos
supuesto en las figuras-, se podrían estudiar con estos modelos. Un
ejemplo de dichas estructuras pueden ser los depósitos, las torres de
control, los pórticos de una altura, etc.
Bibliografía:
r.1
Estructuras sometidas a acciones sísmicas. Cálculo por ordenador. Alex
H. Barbat y Juan Miquel Canet. Ed. CIMNE
r.2
Monografías de Ingeniería Sísmica. Conceptos de cálculo de estructuras
en las normativas de diseño sismorresistente. Alex H. Barbat y Sergio
Oller. Monografía CIMNE IS-24 1998
r.3
Vibraciones y ondas. A. P. French. Publicación del Massachusetts Institute of
Tecnology. Ed. Reverté S.A.
r.4
Problemas de vibraciones en estructuras. Recomendaciones y manuales técnicos.
Estructuras y edificación (E-8). Autores varios. Ed. Colegio de
Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos y ACHE.
r.5
Diseño sísmico de edificios. Bazán y Meli. Ed. Limusa
|
