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TEORÍA DE ESTRUCTURAS

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Tabla de centros de gravedad y momentos de inercia de figuras simples

 

Aunque no es como tal un tema de la Teoría de las estructuras, aprovechamos para incluir aquí un pequeño prontuario con los centros de gravedad y los momentos de inercia de algunas figuras simples: rectángulo, círculo, triángulo, semicírculo, trapecio, curva de segundo grado y curva de tercer grado:

     

 

El diagrama Parábola-Rectángulo del hormigón

 

Cuando realizamos cálculos de secciones de hormigón sometidas a solicitaciones normales necesitamos modelizar la respuesta tensional del hormigón. Para ello podemos trabajar con varios diagramas, eligiendo entre los que nos permiten las diferentes normas de hormigón. La mayoría, como es el caso de la instrucción EHE española, contemplan el diagrama Parábola-Rectángulo  y el diagrama simplificado Rectangular. Sin duda, el diagrama que mejor se adapta  al comportamiento de dicho material, tal y como se ha demostrado mediante ensayos experimentales es el del Parábola Rectángulo, que supone que las tensiones se pueden describir en función de las deformaciones mediante una función que posee un tramo parabólico y otro "rectangular" (constante).

El cálculo manual con dicha ley de comportamiento (extraer fuerzas y momentos resultantes) es tedioso por lo que se deja su uso a los programas informáticos de cálculo, en los que el trabajo pesado lo realiza el ordenador, o bien se suele remitir al calculista a literatura especializada que tabula los valores de la integral que define la resultante y su momento en función de ciertos parámetros (ver por ejemplo el libro Hormigón Armado de Jiménez Montoya, Garcia Meseguer y Morán Cabré. Ed. Gustavo Gili).

En general, la gran mayoría de nosotros, como alumnos de las asignaturas de estructuras puede que estemos más acostumbrados a tratar con el diagrama rectangular que consiste en una simplificación del Parábola-Rectángulo de manera que mediante un simple rectángulo, (figura con la que estamos muy familiarizados y que posee fácil cálculo de su resultante y por tanto de su momento resultante), consigamos aproximadamente las mismas soluciones.

Incluso si calculábamos estructuras hace no muchos años y tratamos con la antigua norma EH-91, conozcamos el método del momento tope, invención del insigne Eduardo Torroja, que utilizaba un diagrama rectangular algo diferente al de la actual EHE y con el que se resolvían todas las fórmulas de cálculo a solicitaciones normales en aquella norma.

Nosotros aquí simplemente vamos a deducir la función del diagrama de Tensión-Deformación de cálculo de la Parábola-Rectángulo según la instrucción EHE de una forma intuitiva matemática y geométrica. Esta ley nos servirá para posteriormente plantear las ecuaciones de equilibrio en una sección cualquiera.

Para ello partiremos del siguiente gráfico que podéis encontrar en la norma, en su artículo 39.5 y en la fig. 39.5.a, en el que como se puede observar destacan dos puntos importantes:

- El correspondiente a la deformación de rotura del hormigón a compresión (εc=0,002).

- El correspondiente a la deformación de rotura del hormigón a flexión (εc=0,0035).

Como se observa, ambas comparten la misma abcisa, σc=0,85 fcd. El valor corresponde a la resistencia de cálculo del hormigón a compresión (fcd) afectado por un coeficiente que tiene en cuenta los efectos de cansancio del hormigón en la resistencia a compresión (0,85).

Diagrama parábola-rectángulo del hormigón

Para hallar el diagrama definimos como positivas las deformaciones de acortamiento, y las tensiones de compresión, y partimos de la base de que el hormigón no es capaz de soportar tracciones. Queda:

 

1.      Tramo parabólico: la parábola se define en el intervalo de deformaciones [0 , 0,002), mediante la expresión genérica de la cónica parábola:
a*εc2 +b*εc + c

      debe cumplirse

- f(0)=0, o lo que es lo mismo, la curva pasa por el origen de coordenadas.

- f(0,002)=0,85 fcd, lo que significa que para la deformación del 2 por mil, la tensión resultante del hormigón es igual a 0,85 fcd. (fcd es la resistencia de cálculo del hormigón a compresión)

- f’(0,002)= 0, es decir, no existen puntos angulosos en el encuentro entre el tramo recto y el parabólico por lo que la pendiente en el extremo es horizontal.

Mediante estas tres condiciones y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante se llega a la parábola siguiente:
 

a= -212500, b= 850, c= 0

f(εc)= -850*fcdc (250*εc+1)

 

2.      Tramo rectangular: el tramo rectangular está definido en [0,002 , 0,0035] y se halla directamente a partir de la condición de que para toda deformación mayor o igual al 2 por mil la tensión del hormigón vale siempre 0,85 fcd.

f(εc)= 0,85*fcd

 

Como sabemos, a medida que el estado de solicitaciones en la sección se va asemejando más a la compresión simple, el diagrama Parábola-Rectángulo va “perdiendo” parte del diagrama parabólico y “ganando” tramo rectangular. El caso límite de la compresión simple supone un rectángulo con altura 0,85 fcd, donde todas las fibras alcanzan la deformación de 0,002 y por tanto la sección es de rotura (ver art. 42.1.3 de la EHE sobre los dominios de deformación).

En el caso opuesto estarían los planos pertenecientes al dominio 2, más cercanos a su límite con el dominio 1 (cerca de la profundidad de la fibra neutra x=0), en los que la fibra más comprimida del hormigón no ha alcanzado todavía la deformación  de 0,002 por lo que nos encontraremos diagramas que sólo constan del tramo parabólico ya que no llegan a alcanzar el límite de 0.85fcd.

 

 
Diagrama sólo rectángulo del hormigón en situación de compresión simple en límite del dominio 5


Diagrama sólo parábola del hormigón en situación cercana al límite del dominio 2  

Similares diagramas existen en otros códigos. Como ejemplo, el Eurocódigo 2 "Proyecto de estructuras de hormigón" proporciona una expresión similar:

f(ε)= 1000*α*fcdc (250*εc+1), para el tramo parabólico y

f(ε)= α*fcd, para el tramo rectangular,

que sólo se diferencia en que tanto las tensiones como las deformaciones del hormigón son consideradas negativas, y en que el factor que tiene en cuenta el cansancio del hormigón (α ) no aparece predeterminado (si bien ser recomienda en la misma norma utilizar el 0,85).

 
Diagrama Parábola rectángulo propuesto por el Eurocódigo 2, Parte I-I (Art. 4.2.1.3.3)



 

 

Breve reseña del MEF (Método de los elementos finitos).

Cuando se produce la llegada de los primeros ordenadores en la década de los 50, el cálculo de estructuras se encontraba en un punto en el que los métodos de cálculo predominantes consistían en técnicas de relajación (métodos de Cross y Kani) que se realizaban de manera manual y por tanto resultaban bastante tediosos. El cálculo de una estructura de edificación de varios pisos, por ejemplo, podía llevar varias semanas, lo cual suponía un coste sustancial de tiempo en detrimento de la posibilidad de invertir este en la optimización de la estructura.

 

La llegada de la computadora permitió el resurgimiento del método de los desplazamientos ya conocidos en siglos anteriores (Navier, Lagrange, Cauchy), pero que eran difíciles de aplicar dado que al final conducían a la resolución de enormes sistemas de ecuaciones inabordables desde el punto de vista manual.

Se instaura entonces el cálculo matricial de estructuras. Éste parte de la discretización de la estructura en elementos lineales tipo barra de los que se conoce su rigidez frente a los desplazamientos de sus nudos. Se plantea entonces un sistema de ecuaciones resultado de aplicar las ecuaciones de equilibrio a los nudos de la estructura. Este sistema de ecuaciones se esquematiza de la siguiente manera:

    P = k . u

Donde las incógnitas son los desplazamientos en los nudos (vector u) que se hallan a partir de las fuerzas en los nudos (vector P) y de la rigidez de las barras (matiz de rigidez k). Conocidos dichos desplazamientos es posible determinar los esfuerzos en las barras. La solución obtenida es exacta.

Para la resolución de los sistemas de ecuaciones se potencia el estudio de  la adaptabilidad de los algoritmos ya conocidos (Gauss, Cholesky, Crout, Gradiente conjugado, etc).  El ahorro de tiempo es impensable y con ello el uso del método matricial se extiende. Este desarrollo se hace especialmente notable en estructuras de edificación donde la discretización de los pórticos en barras, es prácticamente inmediata a partir de las vigas y los pilares.

 

Sin embargo, y a pesar de desarrollarse modelizaciones de elementos superficiales mediante barras (losas con emparrillados, elementos curvos mediante aproximaciones de elementos rectos, etc.), se plantean grandes dificultades ante estructuras continuas (superficies y volúmenes) y con geometrías complejas. De ahí que sea precisamente dentro del campo aeroespacial donde comiencen a desarrollarse las nuevas técnicas del MEF.

El MEF es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales. Para ello trabaja discretizando la estructura en elementos de forma variada (pueden ser superficies, volúmenes y barras), que se conectan entre sí mediante “nodos”. La solución ahora es sólo aproximada en función de los resultados obtenidos para los nodos. El MEF parte del cálculo matricial en el planteamiento del equilibrio en los nodos mediante un sistema de ecuaciones resultado de la contribución de los elementos.

 

Dada su generalidad el método se amplió a otros campos no estructurales como la conducción de calor, la mecánica de fluidos, etc. donde compitió con otros métodos numéricos como el de las diferencias finitas que aún siendo más intuitivos, tenían de nuevo dificultades de planteamiento para geometrías complejas.

 

Con la llegada de los centros de cálculo y los primeros programas comerciales en los años 60, el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus bases teóricas en los  centros universitarios.

En los años 70 se produce un gran crecimiento de la bibliografía así como la extensión del método a otros problemas como los no lineales. Se estudian nuevos tipos de tipos de elementos y se sientan las bases matemáticas rigurosas del método, que había aparecido antes como técnica de la ingeniería que como método numérico de la matemática.

 

Por último, a partir de la década de los 80, con la generalización de los ordenadores personales, se extiende el uso de los programas comerciales que se especializan en los diversos campos, instaurándose el uso de pre y postprocesadores gráficos que realizan el mallado y la representación gráfica de los resultados. Se continua en el estudio de la aplicación del método a nuevos modelos de comportamiento (plasticidad, fractura, daño continuo, etc.) y en el análisis de los errores.

 

En la actualidad dentro del campo estructural el MEF comparte protagonismo con el método matricial, siendo muchos los programas que mezclan el análisis por ambos métodos debido sobre todo a la mayor necesidad de memoria que requiere el análisis por elementos finitos. Así se ha dejado la aplicación del MEF para el análisis de elementos continuos tipo losa o pantalla, mientras que los pórticos siguen todavía discretizándose en barras y utilizando el método matricial.

 

Básicamente los pasos a seguir en el análisis de estructuras mediante el método de los desplazamientos a través del MEF son:

1.      El continuo se divide, mediante líneas o superficies imaginarias en un número de elementos finitos. Esta parte del proceso se desarrolla habitualmente mediante algoritmos incorporados a programas informáticos de mallado durante la etapa de preproceso.

Preproceso de un hypar

2.      Se supone que los elementos están conectados entre sí mediante un número discreto de puntos o “nodos”, situados en sus contornos. Los desplazamientos de estos nodos serán las incógnitas fundamentales del problema, tal y como ocurre en el análisis simple de estructuras por el método matricial.

3.      Se toma un conjunto de funciones que definan de manera única el campo de desplazamientos dentro de cada “elemento finito” en función de los desplazamientos nodales de dicho elemento.

Por ejemplo el campo de desplazamientos dentro de un elemento lineal de dos nodos podría venir definido por: u = N1 u1 + N2 u2, siendo N1 y N2 los las funciones comentadas (funciones de forma) y u1 y u2 los desplazamientos en el nodo 1 y en el nodo 2.

4.      Estas funciones de desplazamientos definirán entonces de manera única el estado de deformación del elemento en función de los desplazamientos nodales. Estas deformaciones, junto con las propiedades constitutivas del material, definirán a su vez el estado de tensiones en todo el elemento, y por consiguiente en sus contornos.

5.      Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos, tal que equilibre las tensiones en el contorno y cualesquiera cargas repartidas, resultando así una relación entre fuerzas y desplazamientos de la forma F = k .  u, que como vemos es similar a la del cálculo matricial.

6.      La resolución del sistema anterior permite obtener los desplazamientos en los nodos y con ellos definir de manera aproximada el campo de desplazamientos en el elemento finito.

7.      En la etapa de postproceso se presentan los resultados, generalmente de forma gráfica para su análisis.

  Postproceso de un hypar

 

 

BIBLIOGRAFÍA

Si bien con vuestro buscador habitual podréis dar con muchos de los recursos sobre este tema que existen en la Web, aquí os dejo bibliografía variada, creo que todos disponibles actualmente (2004), desde textos muy matemáticos a otros más estructurales pasando por algunos de nivel básico, -que clasificaréis simplemente por sus títulos-, para todos aquellos de vosotros que estéis interesados en saber más sobre el MEF :

En castellano:

- ZIENCKIEWICZ, O. C. - TAYLOR, R. L.  El Método de los Elementos Finitos. Ed. McGraw Hill / CIMNE.

- ZIENCKIEWICZ, O. C. - TAYLOR, R. L. El Método de los Elementos Finitos. Formulación básica y problemas lineales -Volumen 1- y Mecánica de sólidos y fluidos. Dinámica y no linealidad -Volumen 2-. Ed. McGraw Hill / CIMNE. Cuarta Edición 1994.

- BELTRÁN, FRANCISCO. Teoría General del Método de los Elementos Finitos. Notas de clase / Curso de Doctorado 1998-1999.  Departamento de Mecánica Estructural y Construcciones Industriales. ETS Ingenieros industriales Madrid.

- VÁZQUEZ, MANUEL - LÓPEZ, ELOISA. El Método de los Elementos Finitos aplicado al análisis estructural. Manuel Vázquez y Eloísa López. Ed. Noela. Madrid 2001.

- OÑATE, EUGENIO. Cálculo de estructuras por el Método de los Elementos Finitos. Análisis Estático Lineal. Ed. CIMNE. 1995

-  ALARCÓN ÁLVAREZ, E. - ÁLVAREZ CABAL, GÓMEZ LERA, Ma. S. Gómez Lera.   Ed. Reverté. 1990.

- ARGÜELLES ÁLVAREZ, RAMÓN. Fundamentos de elasticidad y su programación por elementos finitos. Ed. Bellisco. Madrid 1992.

- CHANDRUPATLA, THUPATHI R.  - BELENDUNGU, ASHOK D. Introducción al Elemento finito en Ingeniería.  Ed. Prentice Hall. México, 1999.

- DE LA ROSA OLIVER, EMILIO. Modelos diferenciales y numéricos en la Ingeniería. Métodos de Fourier; de diferencias y elementos finitos. Ed. Bellisco. Madrid 1999.

- PEREA, RICARDO. Introducción al Método de los Elementos Finitos. Ed. Sección Publicaciones de la E.T.S. de Ingenieros Industriales de la Universidad Politécnica de Madrid.

- FORNONS GARCÍA, JOSÉ MARÍA. El Método de los Elementos Finitos en la ingeniería de estructuras. Ed. Marcombo - Universidad Politécnica Barcelona.

 

En inglés:

- RAO, SINGIRESU S. The finite element Method in engineering. Ed. Butterworth-Heinemann. 1999.

- BRAESS, DIETRICH. Finite elements. Theory, fast solver, and applications in solid mechanics.  Ed. Cambridge. 2001. Segunda Edición.

- BUCHANAN, GEORGE R. Finite element Analysis.  Ed. Mac-Graw Hill. 1995

- THOMÉE, VITAR. Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems. Ed. Springer. 1997

- KATTAN, P.I. Matlab guide to Finite Elements, an interactive approach. Ed. Springer. 2003

- MOAVENI, SAEED. Finite Element Analysis. Theory and Application with ANSYS. Ed. Prentice Hall. 1999

- HUTTON, DAVID V. Fundamentals of Finite Element Analysis. Mc Graw-Hill


 


Estudio de los modelos de oscilador con un grado de libertad. Nociones para el cálculo sísmico
 

Si queremos entender correctamente las normativas sísmicas, y en nuestro caso la normativa NCSE-02, lo correcto será que entendamos los principios básicos del análisis dinámico (teoría de ondas y vibraciones). Para ello vamos a dar aquí las primeras nociones acerca de las características de los movimientos básicos: el movimiento armónico simple, el movimiento armónico simple amortiguado y al final el caso sísmico. Cada uno de ellos se corresponde con un modelo de oscilador, de cuyo estudio podemos obtener las bases dinámicas del movimiento. 

Existen como hemos dicho tres modelos dinámicos sencillos cuyo estudio nos permitirá el análisis del modelo sísmico, estos son:

1.      El oscilador con vibración libre no amortiguada.

2.      El oscilador con vibración libre amortiguada.

3.      El caso sísmico. 

En todos estos casos suponemos que existe sólo una sola partícula concentra toda la masa y que puede desplazarse exclusivamente en una dirección, por lo que hablamos de un único grado de libertad.

Aclararemos primero el concepto de vibración libre. Por este se entiende frente al de vibración forzada, aquella vibración libre en la que no existe una fuerza impulsora periódica que realimenta el movimiento. Veamos el ejemplo con un columpio. Si empujáramos una sola vez la sillita se trataría de una vibración libre, de hecho sería una vibración libre amortiguada dado que el rozamiento terminaría por parar el sistema. El caso de la oscilación forzada la tenemos también en el columpio, cuando cada vez que baja el asiento volvemos a empujarlo. Como se habrá experimentado, de esta segunda manera es más fácil conseguir llegar más arriba.

  Pasemos a ver las principales características de dichos modelos:

 

1. El oscilador con vibración libre no amortiguada OVLNA

Este es el oscilador más sencillo, queda definido por las siguientes características mecánicas (ver figura):

·         Masa m: suponemos concentrada la masa en un punto.

·         Rigidez K, en este caso se identifica con la rigidez de la barra que une a la masa con el suelo. La rigidez produce una fuerza recuperadora del movimiento, que en nuestro caso consideraremos elástica (fe=Kx). En estructuras de edificación la K se obtendrá a partir de la función de la rigidez a cortante de los pilares, generalmente la suma de las rigideces de estos.

 Figura 1. Características fundamentales del OVLNA

 En este modelo no se explica la causa inicial del movimiento, suponemos que la partícula sufrió un desplazamiento de su posición de equilibrio que le hizo comenzar a vibrar. A falta de amortiguación el oscilador permanecerá continuamente en movimiento. 

Si pusiéramos una lamparilla en el punto donde se encuentra la masa m, y enfocáramos al modelo con una pequeña cámara situada en el techo tal que se desplazara uniformemente en sentido perpendicular al movimiento del oscilador veríamos una gráfica parecida a la de la figura 2. En el eje de las ordenadas se representa la posición de la partícula que contiene la masa respecto del tiempo x(t).

 Figura 2. Movimiento del OVLNA

Este movimiento sinusoidal se conoce como movimiento armónico simple. Existe una relación directa entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular asociado:  un movimiento circular uniforme se proyecta como un movimiento armónico simple en su propio plano –ver figura 3-. Es por ello que a la hora de definir las magnitudes que definen el movimiento armónico simple conviene tener en mente la analogía con el movimiento circular.

Figura 3. Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular

 

Veamos pues los parámetros que definen el movimiento:

·         La amplitud A donde se alcanza el máximo desplazamiento.

·         La pulsación o frecuencia circular w, que es una velocidad angular en la analogía del movimiento circular y tiene por dimensiones rad/s. Se define como: .

·         El periodo T, que podemos definir simplificadamente como el tiempo transcurrido entre dos máximos sucesivos (esta distancia se denomina longitud de onda l). En el esquema del movimiento circular se corresponde con el tiempo que se tarda en recorrer una circunferencia completa.

·         La frecuencia cíclica f, que se define a partir del periodo como:

    

      La frecuencia cíclica por el tiempo que dura el movimiento nos sirve para determinar el número de ondas generadas: N = f · t.

·         El ángulo de fase inicial del movimiento fo, que al igual que antes se deduce por una relación con el movimiento circular uniforme, aunque también podemos observar su sentido físico en la figura 2.

 

Vamos a estudiar el equilibrio del oscilador. Debemos darnos cuenta de que el movimiento del oscilador posee aceleración que varía con el tiempo a(t), dado que la partícula llega varía su velocidad a lo largo del mismo (esta es nula cuando se encuentra en su punto de máximo desplazamiento).

Ahora ya estamos en disposición de analizar el equilibrio. Para ello nos serviremos del principio de D’Alembert: “Un sistema dinámico está en equilibrio cuando todas las fuerzas que actúan en el mismo, incluidas las de inercia, cumplen las ecuaciones de equilibrio estático en cada instante de tiempo”.

Por tanto debe cumplirse la segunda ley de Newton, siendo las fuerzas existentes la de recuperación de la barra que suponemos elástica y la de inercia debida a la aceleración de la partícula. Por tanto, queda:

 

Figura 4. Equilibrio del OVLNA

fi(t) + fe(t) = 0

*El signo (-) de las fuerzas de inercia surge por el hecho de oponerse a la aceleración.  

Siendo (I) la ecuación que representa al movimiento del OVLNA.  Ésta ecuación podría también ponerse en función de w:

 

2. El oscilador con vibración libre amortiguada OVLA

El siguiente modelo será el oscilador con amortiguamiento. Un OVLA queda definido por las características anteriormente tratadas y además por el amortiguamiento que se define habitualmente según la ley de Kelvin-Voigt, haciéndose proporcional el amortiguamiento a la velocidad del movimiento (amortiguamiento viscoso), actuando siempre en sentido contrario a éste. El amortiguamiento viene definido por su constante de amortiguamiento c y la fuerza debida al amortiguamiento por fa=c x’ siendo x’ la derivada de la posición respecto al tiempo, es decir la velocidad. Este amortiguamiento viene a simular las características reales de la estructura en la que la oscilación termina desapareciendo debido al rozamiento, las fuerzas de fricción internas y la misma viscosidad del material.

El modelo queda como sigue:
 

 

Figura 5. Características fundamentales del modelo de OVLA

 Veamos el funcionamiento del OASA. En un instante dado t0 se desplaza a la partícula de su posición de equilibrio, de modo que el sistema comienza a vibrar. La rigidez de la estructura hace que se produzca una fuerza restauradora y lleve a la masa primero a su lugar original y después a un punto a una distancia algo menor que d en sentido contrario al primero como consecuencia del amortiguamiento. Este mismo proceso se repite hasta que el oscilador vuelve al reposo.

 

 Figura 6. Análisis del movimiento del OVLA respecto al tiempo

Vamos a estudiar el equilibrio del oscilador. Ahora además de las fuerzas que intervenían en el modelo anterior, aparece la fuerza de amortiguamiento fa = c·x’ que se opone al movimiento. Queda así:

Figura 7. Equilibrio del OVLA

fi(t) + fe(t) + fa(t)= 0  

y sustituyendo el valor de las fuerzas:

Siendo (II) la ecuación que representa al movimiento del OVLA. Es importante dicha ecuación dado que la mayoría de las normativas trabajan con ella a la hora de establecer las características dinámicas de sus modelos con varios grados de libertad. Estas ecuaciones no serán más que la generalización de la del OVLA a varios grados de libertad (por ej- el modelo de cortante).

 

2. El oscilador en el caso sísmico.

Este modelo cuyo nombre se ha tomado de la referencia del profesor Barbat (r.1), representa mejor que los anteriores el comportamiento ante el sismo ya que tiene en cuenta el origen de la vibración. Hasta ahora nuestro modelo estaba en movimiento cuando comenzábamos su estudio, no planteándonos como había surgido dicho desplazamiento. Sin embargo, la vibración de las estructuras surge como respuesta a la acción de las ondas sísmicas, que vamos a traducir en un movimiento del terreno que posee una aceleración, una velocidad y un desplazamiento dependientes del tiempo -a(t), v(t), s(t)-. Este supuesto es importante ya que ahora el sistema de referencia elegido (eje X) no es inercial al estar acelerado lo que influirá en el equilibrio.

 

  Figura 8. Modelo del “caso sísmico”

Haremos un breve comentario acerca de los sistemas no inerciales. No debemos temer a las fuerzas de inercia, estamos muy acostumbrados a ellas, por ejemplo son aquellas que nos hacen caer cuando no vamos bien agarrados en el vagón del metro; si el vagón acelera parece como si nos empujaran hacia la cola del vagón, al contrario si el vagón frena nuestro cuerpo sigue hacia delante “por inercia”. Esta fuerza de la que en principio parece que desconocemos su origen, tiene su causa en la aceleración del movimiento, de hecho ha estado presente hasta ahora, pero nula. Esta fuerza es independiente de la que también es de inercia y se ha considerado anteriormente debida a la aceleración de la partícula de masa. Ahora la aceleración a tener en cuenta es la del modelo completo como sólido rígido deslizando sobre el carrito –ver figura 8-. 

Planteemos pues el equilibrio, nótese que el diagrama de fuerzas es el mismo que el del modelo anterior, sólo que en las fuerzas de inercia se incluirá un nuevo término que hace referencia a la nueva aceleración:

 Queda: 

fi(t) + fe(t) + fa(t) = 0 

y sustituyendo el valor de las fuerzas:

 

ecuación que define las ecuaciones de movimiento del caso sísmico y con lo que hemos completado la exposición introductoria que nos habíamos planteado.

 

Es importante comentar que los modelos anteriores pese a su sencillez -dado que  tan sólo poseen un grado de libertad, este es, el desplazamiento horizontal en la coordenada X-, son un instrumento muy útil y el punto de partida para entender sistemas más complejos.

Por otro lado con estos modelos ya podríamos analizar la respuesta dinámica de algunas estructuras: aquellas en las que pudiéramos suponer que su masa está concentrada en un punto, y la rigidez del sus pilares frente a dicho desplazamiento puede asimilarse a la rigidez K de dicho oscilador –la rigidez de la barra como hemos supuesto en las figuras-, se podrían estudiar con estos modelos. Un ejemplo de dichas estructuras pueden ser los depósitos, las torres de control, los pórticos de una altura, etc.

 

Bibliografía:

r.1 Estructuras sometidas a acciones sísmicas. Cálculo por ordenador. Alex H. Barbat y Juan Miquel Canet. Ed. CIMNE

r.2 Monografías de Ingeniería Sísmica. Conceptos de cálculo de estructuras en las normativas de diseño sismorresistente. Alex H. Barbat y Sergio Oller. Monografía CIMNE IS-24 1998

r.3 Vibraciones y ondas. A. P. French. Publicación del Massachusetts Institute of Tecnology. Ed. Reverté S.A.

r.4 Problemas de vibraciones en estructuras. Recomendaciones y manuales técnicos. Estructuras y edificación (E-8). Autores varios. Ed. Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos y ACHE.

r.5 Diseño sísmico de edificios. Bazán y Meli. Ed. Limusa


En qué consiste la Mecánica de la Fractura. Inglis y Griffith.

La mecánica de la fractura es un modelo de estudio del comportamiento de los materiales que se situaría junto a la mecánica del medio continuo (más conocida por todos nosotros), o la mecánica del daño continuo.

La diferencia principal entre estos tres modelos de comportamiento está en el estado de ‘deterioro’ en que se encuentra la materia en estudio. Mientras que la mecánica del medio continuo trata de simular el comportamiento de materiales sanos o perfectos, la mecánica del daño continuo analiza los materiales cuando estos poseen microfisuras y la mecánica de la fractura cuando se ha formado ya se ha formado una macrofisura

Dado que todos los materiales contienen defectos será importante conocer la influencia que estos tienen en la resistencia del material. Se impone así un diseño con la filosofía de adoptar tolerancias para tales defectos. También es importante el estudio de la mecánica de la fractura en relación con la fatiga y el crecimiento de las grietas debidas a ésta. 

Esta rama de la mecánica no es nueva, sus comienzos se situan en 1913 cuando  C. E. Inglis (1)  estudió la rotura de placas con agujeros en su interior a las que sometía a estiramientos por sus bordes.

Se trataba de analizar las tensiones que aparecían al estirar una placa infinita con un agujero elíptico en su interior considerablemente menor que el tamaño de la placa. Tras experimentar con distintas placas y agujeros, Inglis se dio cuenta de que en los bordes de estos (punto A de la figura) las tensiones eran mayores de lo esperado y de que no era la forma del agujero lo que caracterizaba la rotura, sino la longitud de la elipse que era perpendicular a la carga y la magnitud del radio de curvatura al final del agujero. El más largo de los agujeros (con eje mayor de la elipse más largo) y con el más pequeño radio de curvatura estaba sometido a las tensiones más altas.

Más tarde, en 1920, A.A. Griffith (2) llevó más allá el trabajo de Inglis. Griffith pensó de nuevo sobre el problema de la placa bajo tensión, pero él ‘estiró la elipse’ para convertirla en una grieta. Griffith hizo una serie de experimentos sobre alargamiento hasta la rotura de alambres con y sin fallas, comprobando que en los alambres defectuosos la rotura era más rápida debido a que las tensiones incrementaban su magnitud hasta el triple o cuadruple.

De la misma manera experimentó sobre placas pequeñas de vidrio, estiradas a tracción, con una grieta en su interior, perpendicular a la carga. Así determinó que las tensiones al final de la grieta eran muy altas y la grieta debilitaba el vidrio significativamente.

A partir de estas pruebas concluyó que los materiales que están fracturados, no importa lo pequeña que sea esa fractura, actúan de manera muy diferente a los que no tienen grietas.

 

Griffith también introdujo la noción de fuentes y sumideros de energía en la propagación de las grietas. Dijo que para que una grieta pudiera crecer, era necesario tener suficiente energía potencial en el sistema para crear la nueva superficie de rotura. En definitiva una fractura será inestable si la energía de relajación desarrollada por la fractura (al crecer la grieta existe un área a su alrededor que se relaja de las tensiones) es mayor que aquella necesaria para crear una nueva superficie de fractura. 

La resolución del problema de estabilidad planteado anteriormente en términos de energía, conlleva a la definición de una tensión crítica para la cual una grieta de longitud dada comienza su proceso crítico de expansión; o bién de otra manera a una longitud de grieta crítica -longitud crítica de grieta de Griffith-  para una tensión dada, de manera que si dicha longitud no es superada, la grieta no continuara su proceso de rotura.  

Actualmente la Mecánica de la Fractura es de gran importancia y se utiliza en el diseño y comprobación de todo tipo de estructuras (presas, barcos, engranajes, etc) especialmente mediante la ayuda de métodos numéricos como la simulación por elementos finitos.

 

 Artículos:

-(1) Stress in a plate due to the presence of cracks and sharp corners. Proc. Int. Naval Arquitects, Nº60. 1913. C. E. Inglis

-(2) The phenomena of rupture and flaw in solids. Trans. Royal Society of Londosn. A-22 I, 1920

 

 Para saber más:

-Mecánica de fractura. José Luis Arana y Javier Jesús González. Servicio Editorial Universidad del País Vasco.

-Fractura mecánica. Un enfoque global. Sergio Oller. CIMNE Barcelona-Ediciones UPC.

-Fractura de materiales. M.J. Anglada, J. Alcalá, L.M. Llanes, A.M. Mateo, M.N. Salán. Ediciones UPC

-Estructuras o por qué las cosas no se caen. J. E. Gordon. Celeste Ediciones.

-Introduction to fracture mechanics. S. Suresh

-http://simscience.org/cracks/intermediate/history1.html

 

 


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